Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολικό βιβλίο – Κεφάλαιο 6 ¨ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ¨ (εμπλουτισμένο)

ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας) με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.

Οι συναρτήσεις παριστάνονται συνήθως με τα μικρά γράμματα ƒ, g, h κτλ. του Λατινικού αλφαβήτου.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β.

Μερικά στοιχεία του Β μπορεί να μην αποτελούν τιμές της ƒ.

Δύο ή περισσότερα στοιχεία του Α μπορεί να αντιστοιχίζονται στο ίδιο στοιχείο του συνόλου Β.

Παράδειγμα

Θεωρούμε τα σύνολα Α = {α, β, γ} και Β = {1, 2, 3, 4, 5}, καθώς επίσης και τα παρακάτω σχήματα (βελοδιαγράμματα).

Το σχήμα (α) παριστάνει συνάρτηση, αφού κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.
Το σχήμα (β) ΔΕΝ παριστάνει συνάρτηση , αφού το στοιχείο α ,του συνόλου Α, αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία του συνόλου Β.
Το σχήμα (γ) ΔΕΝ παριστάνει συνάρτηση, αφού το στοιχείο γ ,του συνόλου Α ,δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα στοιχείο του συνόλου Β.
Το σχήμα (δ) ΔΕΝ παριστάνει συνάρτηση. Πρώτον διότι το στοιχείο γ ,του συνόλου Α ,δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα στοιχείο του συνόλου Β και δεύτερον διότι το στοιχείο α ,του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία του συνόλου Β.

Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού ή σύνολο ορισμού της ƒ.

Αν με μια συνάρτηση ƒ από το Α στο Β, το x∈Α αντιστοιχίζεται στο y∈Β , τότε γράφουμε:

{ƒ: Α → Β / y = ƒ(x) }.

Το ƒ(x) λέγεται τότε τιμή της ƒ στο x. Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού της ƒ, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο x, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.

Το σύνολο, που έχει για στοιχεία του τις τιμές ƒ(x) για όλα τα x∈Α, λέγεται σύνολο τιμών της ƒ και το συμβολίζουμε με ƒ(Α).

ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΑ

Οι συναρτήσεις, με τις οποίες θα ασχοληθούμε θα είναι της μορφής , f :A → B, όπου Α ⊆ $\mathbb{R}$ και Β ⊆ $\mathbb{R}$ , είναι δηλαδή, όπως λέμε, πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.

Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης ƒ είναι το «ευρύτερο» υποσύνολο του $\mathbb{R}$ για το οποίο ο τύπος της ƒ έχει νόημα.
Το σύνολο Β είναι ολόκληρο το σύνολο $\mathbb{R}$ των πραγματικών αριθμών.

Πολλές φορές μια συνάρτηση περιγράφεται με έναν τύπο που έχει κλάδους, με λίγα λόγια δεν ισχύει ο ίδιος τύπος για όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού και η εμφάνισή της θα έχει τη μορφή $f(x)=\left\{\begin{matrix} f_1(x),x\epsilon A_1 & \\f_2(x),x\epsilon A_2 & \end{matrix}\right.$ .

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με κλάδους , θα είναι η ένωση κάθε υποσυνόλου Α₁ , Α₂ ,… στο οποίο ορίζεται κάθε κλάδος. Δηλαδή Α_f = A₁UA₂.

Έυρεση Πεδίου Ορισμού συνάρτησης.

Ορίσαμε ως πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης ƒ το «ευρύτερο» υποσύνολο του $\mathbb{R}$ για το οποίο ο τύπος της ƒ έχει νόημα.

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης το βρίσκουμε ΠΑΝΤΑ πρίν από κάθε άλλη πράξη,απλοποίηση τύπου κτλ

Κάθε πολυωνυμικη συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ .
Η ρητη (πηλίκο πολυωνύμων) ορίζεται για εκείνες τις τιμές από το $\mathbb{R}$ , που δε μηδενίζουν τον παρονομαστή της.
Η άρρητη (ο τύπος της περιέχει ριζικά του x) ορίζεται για εκείνες τις τιμές από το $\mathbb{R}$ , για τις οποίες τα υπόρριζα είναι μη αρνητικά.
Κάθε συνάρτηση λοιπόν που ο τύπος της δεν περιέχει ρίζες ή κλάσματα θα λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το σύνολο $\mathbb{R}$ .