Διαφορικός Λογισμός
1.Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Απάντηση
Έστω Α ένα υποσύνολο του ℝ . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x∈A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y.Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x). Το σύνολο Α, λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και συνήθως συμβολίζεται με Αf. Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα x∈A, λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f(A). Είναι δηλαδή: f(A) = { y | y = f(x) για κάποιο x∈A}.
2.Τι ονομάζουμε ανεξάρτητη και τι εξαρτημένη μεταβλητή; Απάντηση
Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.
3.Έστω η συνάρτηση f από το Α στο Β, πότε η f λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής τιμής; Απάντηση
Αν το Α είναι υποσύνολο του συνόλου ℝ των πραγματικών αριθμών, ενώ το Β συμπίπτει με το ℝ οι συναρτήσεις αυτές λέγονται πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής και τις οποίες στο εξής θα τις λέμε απλώς συναρτήσεις.
4.Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση ή καμπύλη της f. Απάντηση Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M(x, y) για τα οποία ισχύει y = f (x) ( εξίσωση της γραφικής παράστασης της f), δηλαδή το σύνολο των σημείων M(x,f (x)) , x∈A, λέγεται γραφική παράσταση της f και θα συμβολίζεται συνήθως με Cf .
5.Πως ορίζονται οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων, και πως βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των νέων συναρτήσεων; Απάντηση Το πεδίο ορισμού των
Ορίζουμε ως άθροισμα , διαφορά
, γινόμενο
και πηλίκο
δύο συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους:
,
και
είναι η τομή A∩B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της
είναι το A∩B, εξαιρουμένων
των τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(x) , δηλαδή το σύνολο {x | x∈A και x∈B, με g(x) ≠ 0}.
6.Πότε μια συνάρτηση f, λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ. Απάντηση
Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 ,x2 ∈Δ με x1 < x2 ισχύει f (x1) < f (x2) .
7.Πότε μια συνάρτηση f, λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ. Απάντηση
Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 ,x2 ∈Δ με x1 < x2 ισχύει f (x1) > f (x2) .
8.Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σ’ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Απάντηση
Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της , λέμε οτι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.
9.Tι ονομάζουμε περιοχή του x0 ; Απάντηση
Ονομάζουμε περιοχή του x0 κάθε ανοικτό διάστημα το οποίο περιέχει το x0 .
10.Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0∈A ; Απάντηση
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0∈A ,το f (x0) ,όταν f (x) ≤ f (x0) για κάθε x σε μια περιοχή του x0.
11.Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0∈A ; Απάντηση
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0∈A ,το f (x0) ,όταν f (x) ≥ f (x0) για κάθε x σε μια περιοχή του x0.
12.Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x0∈A (ολικό) μέγιστο; Απάντηση
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο x0∈A ,το f (x0) ,όταν f (x) ≤ f (x0) για κάθε x∈A .
13.Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x0∈A (ολικό) ελάχιστο; Απάντηση
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x0∈A ,το f (x0) ,όταν f (x) ≥ f (x0) για κάθε x∈A .
14.Τι ονομάζουμε ακρότατα μιας συνάρτησης; Απάντηση ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο , άλλες μόνο ελάχιστο , άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης , τοπικά ή ολικά.