ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ (Α΄ΜΕΡΟΣ)

No comments

Διανύσματα

1.Πως ορίζεται το διάνυσμα;

 

 

 

Απάντηση

Το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα.

bk1

Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής του διανύσματος, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος.

Το διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεται με  \displaystyle \overrightarrow{AB}  και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινάει από το Α και καταλήγει στο Β.

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

2.Πότε ένα διάνυσμα λέγεται μηδενικό;

 

 

 

Απάντηση

Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό διάνυσμα. Έτσι, για παράδειγμα, το διάνυσμα \displaystyle \overrightarrow{AA} είναι μηδενικό διάνυσμα.

 

 

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

3.Τι ονομάζουμε μέτρο ενός διανύσματος \displaystyle \overrightarrow{AB} και πότε το \displaystyle \overrightarrow{AB} θα λέγεται μοναδιαίο;

 

 

 

Απάντηση

Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος \displaystyle \overrightarrow{AB} , δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, λέγεται μέτρο ή μήκος του διανύσματος \displaystyle \overrightarrow{AB} και συμβολίζεται με \displaystyle \vec{|AB|}  .

 

Αν το διάνυσμα \displaystyle \overrightarrow{AB} έχει μέτρο ίσο με 1 , τότε λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα.

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

4.Τι ονομάζουμε φορέα ενός διανύσματος \displaystyle \overrightarrow{AB} ;

 

 

 

Απάντηση

bk2

Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα \displaystyle \overrightarrow{AB}  λέγεται φορέας του \displaystyle \overrightarrow{AB} .

bk3

Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος \displaystyle \overrightarrow{AA} μπορούμε να θεωρούμε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το Α.

ΣΧΟΛΙΟ

Αν ο φορέας ενός διανύσματος \displaystyle \overrightarrow{AB}  είναι παράλληλος ή συμπίπτει με μια ευθεία ζ, τότε λέμε ότι το  \displaystyle \overrightarrow{AB} είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουμε \displaystyle \overrightarrow{AB} //ζ .

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

5.Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα  \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }   λέγονται παράλληλα;

 

 

 

Απάντηση

bk4

Δύο μη μηδενικά διανύσματα  \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }  , που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα  \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }  έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε \displaystyle \overrightarrow{AB }//\overrightarrow{\Gamma \Delta }  .

Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα.

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

6.Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα  \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }   λέγονται ομόρροπα;

 

 

 

Απάντηση

bk5

Δύο μη μηδενικά διανύσματα  \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }   λέγονται ομόρροπα:

α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους, ή

β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη. 

Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι τα   \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }  έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε \displaystyle \overrightarrow{AB }\upuparrows\overrightarrow{\Gamma \Delta }  .

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

7.Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα  \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }   λέγονται αντίρροπα;

 

 

 

Απάντηση

bk6

Δύο μη μηδενικά διανύσματα  \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }   λέγονται αντίρροπα , όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα.

Στηνπερίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα  \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }  έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε \displaystyle \overrightarrow{AB }\uparrow\downarrow\overrightarrow{\Gamma \Delta }  . 

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

8.Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα ;

 

 

 

Απάντηση

bk7

Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα.

Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα   \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }  είναι ίσα ,γράφουμε \displaystyle \overrightarrow{AB }=\overrightarrow{\Gamma \Delta } .

Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με \displaystyle \vec{0}  .

ΣΧΟΛΙΑ

Εύκολα αποδεικνύεται ότι:

→Αν \displaystyle \overrightarrow{AB }=\overrightarrow{\Gamma \Delta } τότε \displaystyle \overrightarrow{A\Gamma }=\overrightarrow{B \Delta } , \overrightarrow{\Delta B }=\overrightarrow{\Gamma A } ,  και \displaystyle \overrightarrow{BA }=\overrightarrow{ \Delta\Gamma } .

bk8

→Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε  \displaystyle \overrightarrow{AM }=\overrightarrow{MB}  και αντιστρόφως.

bk9

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

9.Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα ;

 

 

 

Απάντηση

bk10

Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα.

Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα  \displaystyle \overrightarrow{AB} και \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta }  είναι αντίθετα, γράφουμε \displaystyle \overrightarrow{AB }=-\overrightarrow{\Gamma \Delta } ή \displaystyle \overrightarrow{\Gamma \Delta}=-\overrightarrow{AB } .

ΣΧΟΛΙΟ

Είναι φανερό ότι \displaystyle \overrightarrow{AB }=-\overrightarrow{ \Gamma\Delta } \Leftrightarrow \overrightarrow{AB }=\overrightarrow{\Delta \Gamma }  .

Ειδικότερα, έχουμε \displaystyle \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB } .

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

10.Τι ονομάζεται γωνία δύο διανυσμάτων \displaystyle \vec{a}   και \displaystyle \vec{\beta }  ;

 

 

 

Απάντηση

Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα \displaystyle \vec{a}  και \displaystyle \vec{\beta } . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα \displaystyle \overrightarrow{OA}= \displaystyle \vec{a} και \displaystyle \overrightarrow{OB}= \displaystyle \vec{\beta } .

bk11

Την κυρτή γωνία \displaystyle A\hat{O}B , που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων \displaystyle \vec{a} και \displaystyle \vec{\beta } και τη συμβολίζουμε με  ή ή ακόμα, αν δεν προκαλείται σύγχυση, με ένα μικρό γράμμα, για παράδειγμα θ. 

ΣΧΟΛΙΟ

Εύκολα αποδεικνύεται ότι η γωνία των \displaystyle \vec{a} και \displaystyle \vec{\beta } είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο. Είναι φανερό επίσης ότι 0ο ≤ θ ≤ 180ο ή σε ακτίνια 0 ≤ θ ≤ π και ειδικότερα:

→θ = 0 , αν \displaystyle\vec{a}\upuparrows\vec{\beta }  .

→θ = π , αν \displaystyle\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{\beta }  .

→Αν θ = \displaystyle \frac{\pi }{2} , τότε λέμε ότι τα διανύσματα \displaystyle \vec{a} και \displaystyle \vec{\beta } είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε \displaystyle \vec{a}⊥\displaystyle \vec{\beta } .

bk12

Aν ένα από τα διανύσματα \displaystyle \vec{a},\displaystyle \vec{\beta } είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία των \displaystyle \vec{a} και \displaystyle \vec{\beta } μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία θ με 0 ≤ θ ≤ π.

Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμα \displaystyle \vec{0},είναι ομόρροπο ή αντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα.

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

11.Να περιγράψετε την πρόσθεση μεταξύ δυο διανυσμάτων \displaystyle \vec{a}   και \displaystyle \vec{\beta } .

 

 

 

Απάντηση

Έστω δύο διανύσματα.Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα \displaystyle \overrightarrow{OA}= \displaystyle \vec{a} και στη συνέχεια με αρχή το Α παίρνουμε διάνυσμα \displaystyle \overrightarrow{AM}= \displaystyle \vec{\beta} .

To διάνυσμα  \displaystyle \overrightarrow{OM} λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων \displaystyle \vec{a}  και \displaystyle \vec{\beta } και συμβολίζεται με \displaystyle \vec{a}+\vec{\beta } .

Θα αποδείξουμε ότι το άθροισμα των διανυσμάτων \displaystyle \vec{a}  και \displaystyle \vec{\beta } είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο.

Πράγματι, αν O′ είναι ένα άλλο σημείο και πάρουμε τα διανύσματα \displaystyle \overrightarrow{O'A'}= \displaystyle \vec{a} και  \displaystyle \overrightarrow{A'M'}= \displaystyle \vec{\beta} ,επειδή \displaystyle \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O'A'}= \displaystyle \vec{a} και \displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A'M'}= \displaystyle \vec{\beta} έχουμε \displaystyle \overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AA'} και \displaystyle \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{MM'} .

Επομένως  \displaystyle \overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{MM'} , που συνεπάγεται ότι και  \displaystyle \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O'M'} .

bk13

Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλόγραμμου. Δηλαδή, αν με αρχή ένα σημείο Ο πάρουμε τα διανύσματα  \displaystyle \overrightarrow{OA}= \displaystyle \vec{a} και  \displaystyle \overrightarrow{OB}= \displaystyle \vec{\beta} , τότε το άθροισμα \displaystyle \vec{a}+\vec{\beta } ορίζεται από τη διαγώνιο ΟΜ του παραλληλόγραμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις ΟΑ και ΟΒ.

bk14

 

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

12.Να γράψετε και να αποδείξετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσμάτων.

 

 

 

Απάντηση

Για την πρόσθεση των διανυσμάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών. Δηλαδή, αν \displaystyle \vec{a} , \displaystyle \vec{\beta} , \displaystyle \vec{\gamma} είναι τρία διανύσματα, τότε:

bk15

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

(1)bk14

Από το παραπάνω σχήμα έχουμε: \displaystyle \vec{a}+\vec{\beta }= \displaystyle \overrightarrow{OA}+ \displaystyle \overrightarrow{AM}= \displaystyle \overrightarrow{OM} και 

\displaystyle \vec{\beta}+\vec{a}= \displaystyle \overrightarrow{OB}+ \displaystyle \overrightarrow{BM}= \displaystyle \overrightarrow{OM} .

Επομένως \displaystyle \vec{a}+\vec{\beta }= \displaystyle \vec{\beta}+\vec{a} .

(2)

bk16

Από το παραπάνω σχήμα έχουμε:

και

.

Επομένως,  .

ΣΧΟΛΙΑ

Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να συμβολίζουμε καθένα από τα ίσα αθροίσματα \displaystyle (\vec{a}+\vec{\beta })+\vec{\gamma } και \displaystyle \vec{a}+(\vec{\beta }+\vec{\gamma }) με \displaystyle \vec{a}+\vec{\beta }+\vec{\gamma } ,το οποίο θα λέμε άθροισμα των τριών διανυσμάτων \displaystyle \vec{a} , \displaystyle \vec{\beta} και \displaystyle \vec{\gamma} .

Το άθροισμα περισσότερων διανυσμάτων ορίζεται επαγωγικά ως εξής:


Για παράδειγμα,  .bk17

Δηλαδή, για να προσθέσουμε ν διανύσματα  τα καθιστούμε διαδοχικά , οπότε το άθροισμά τους θα είναι το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και ως πέρας το πέρας του τελευταίου. Επειδή μάλιστα ισχύουν η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, το άθροισμα δε μεταβάλλεται αν αλλάξει η σειρά των προσθετέων ή αν μερικοί από αυτούς αντικατασταθούν με το άθροισμά τους.

Οι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς.

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

 

 

13.Να περιγράψετε την αφαίρεση μεταξύ δυο διανυσμάτων \displaystyle \vec{a} και \displaystyle \vec{\beta } .

 

 

 

Απάντηση

Η διαφορά \displaystyle \vec{a}-\vec{\beta} του διανύσματος \displaystyle \vec{\beta} από το διάνυσμα \displaystyle \vec{a} ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων \displaystyle \vec{a} και \displaystyle -\vec{\beta}.

Δηλαδή  \displaystyle \vec{a}-\vec{\beta}=\vec{a}+(-\vec{\beta}) .

bk18

Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν έχουμε δύο διανύσματα \displaystyle \vec{a} και \displaystyle \vec{\beta } τότε υπάρχει μοναδικό διάνυσμα \displaystyle \vec{x}, τέτοιο, ώστε \displaystyle \vec{\beta}+\vec{x}=\vec{a}.

Πράγματι, 
 

Απάντηση
Κλείσιμο απάντησης

 

Pages: 1 2 3