ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

No comments

 

Σχολικό βιβλίο (εμπλουτισμένο)

Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε δύο βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

 

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων παίρνουμε ένα σημείο Μ(x,y) στο 1o ή στο 2οτεταρτημόριο.

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω = xOΜ είναι :

\eta \mu \omega =\frac{y}{\rho }             

\sigma \upsilon \nu \omega =\frac{x}{\rho }

\varepsilon\varphi \omega =\frac{y}{x }

 

H παράσταση (ημω)2 + (συνω)2 είναι ίση με: (ημω)2 + (συνω)2 = \left (\frac{y}{\rho} \right )^{2}+\left (\frac{x}{\rho} \right )^{2}=\frac{ x^{2}+y^{2}}{\rho ^{2}}    , όμως  \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho  δηλαδή  x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}  και επομένως η παράσταση (ημω)2 + (συνω)2 είναι ίση με  \frac{\rho ^{2}}{\rho ^{2}}  ή 1.

Έτσι αποδείξαμε ότι (ημω)2 + (συνω)2 = 1       (1)

Τώρα για συνω ≠ 0 ,η παράσταση  \frac{\eta \mu \omega }{\sigma \upsilon \nu \omega }   είναι ίση με:  \frac{\eta \mu \omega }{\sigma \upsilon \nu \omega }=\frac{\frac{y}{\rho }}{\frac{x}{\rho }}  και αν μετατρέψουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλό , τέλος θα έχουμε ότι : 

\frac{\eta \mu \omega }{\sigma \upsilon \nu \omega }=\frac{y\cdot \rho }{x\cdot \rho }=\frac{y}{x} = εφω.

Έτσι αποδείξαμε ότι  \frac{\eta \mu \omega }{\sigma \upsilon \nu \omega }=\varepsilon \varphi \omega    (2)

⇒ Τη σχέση (ημω)2 + (συνω)2 = 1 μπορεί να τη συναντήσουμε και στις μορφές :

(ημω)2 + (συνω)2 = 1 ⇔ (ημω)2 = 1 – (συνω)2 ⇔ (συνω)2 = 1 – (ημω)2

Παράδειγμα 1 (σχολικό βιβλίο σελ.241)

 

Λύση

Παράδειγμα 2 (σχολικό βιβλίο σελ.241)

 

Λύση

Παράδειγμα 3  (σχολικό βιβλίο σελ.241)

Λύση

 

 

 

 

Ασκησιολόγιο για την παράγραφο αυτή θα βρείτε στη σελίδα 2

Pages: 1 2