Συναρτήσεις
Απάντηση Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας) με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. ΣΧΟΛΙΑ
2.Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; Απάντηση Έστω ƒ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M(x, y) για τα οποία ισχύει y = ƒ(x), δηλαδή το σύνολο των σημείων M(x, ƒ(x)), x∈A, λέγεται γραφική παράσταση της ƒ και συμβολίζεται συνήθως με Cƒ. ΣΧΟΛΙΑ Η εξίσωση, λοιπόν, y = ƒ(x) επαληθεύεται από τα σημεία της Cƒ και μόνο από αυτά. Επομένως, η y = ƒ(x) είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της ƒ. Για το λόγο αυτό, τη γραφική παράσταση Cƒ της ƒ τη συμβολίζουμε, πολλές φορές, απλά με την εξίσωσή της, δηλαδή με y = ƒ(x). Επειδή κάθε x∈A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y∈ℝ, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της ƒ με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της ƒ το πολύ ένα κοινό σημείο . Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης. Όταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ƒ μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ‒ƒ, παίρνοντας τη συμμετρική της γραφικής παράστασης της ƒ ως προς τον άξονα x′x και τούτο διότι η γραφική παράσταση της ‒ƒ αποτελείται από τα σημεία M′(x, ‒ƒ(x)) που είναι συμμετρικά των σημείων M(x, ƒ(x)) της γραφικής παράστασης της ƒ ως προς τον άξονα x′x.
Απάντηση Σχετικές θέσεις της Cƒ με τον x’x . Η Cƒ τέμνει τον άξονα x’x αν και μόνο αν υπάρχει x∈A, με f(x) = 0. Η Cƒ βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x αν και μόνο αν f(x) > 0, για κάθε x∈A. Η Cƒ βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x αν και μόνο αν f(x) < 0, για κάθε x∈A.
Απάντηση Σχετικές θέσεις της Cƒ με τη Cg . Η Cƒ τέμνει τη Cg αν και μόνο αν υπάρχει x∈ (Aƒ∩Ag), με f(x) = g(x). Η Cƒ βρίσκεται πάνω από τη Cg αν και μόνο αν f(x) > g(x), για κάθε x∈ (Aƒ∩Ag). Η Cƒ βρίσκεται κάτω από τη Cg αν και μόνο αν f(x) < g(x), για κάθε x∈ (Aƒ∩Ag).
Απάντηση Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξoυσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει: f(x1) < f(x2) . ΣΧΟΛΙΟ Η συνάρτηση f(x) = αx + β, με α > 0 είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.
Απάντηση Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνoυσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει: f(x1) > f(x2) . ΣΧΟΛΙΟ Η συνάρτηση f(x) = αx + β, με α < 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ.
Απάντηση Μια συνάρτηση f λέγεται σταθερή σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει: f(x1) = f(x2) . ΣΧΟΛΙΟ Η συνάρτηση f(x) = αx + β, με α = 0 είναι σταθερή στο ℝ.
Απάντηση Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.
Απάντηση Μια συνάρτηση f ,με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέμε ότι παρουσιάζει στο x0∈A (ολικό) ελάχιστο όταν: f(x) ≥ f(x0) , για κάθε x∈A. ΣΧΟΛΙΟ Το x0∈A λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το f(x0) ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο της συνάρτησης f και το συμβολίζουμε με min f (x) .
Απάντηση Μια συνάρτηση f ,με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέμε ότι παρουσιάζει στο x0∈A (ολικό) μέγιστο όταν: f(x) ≤ f(x0) , για κάθε x∈A. ΣΧΟΛΙA Το x0∈A λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f(x0) ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο της συνάρτησης f και το συμβολίζουμε με max f (x) . Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται oλικά ακρότατα αυτής. Μια συνάρτηση ενδέχεται να έχει και μέγιστο και ελάχιστο ή μόνο ελάχιστο ή μόνο μέγιστο ή να μην έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο .
Απάντηση Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε x∈A ισχύει: −x∈A και f(−x) = f(x). ΣΧΟΛΙΟ Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξoνα συμμετρίας τον άξονα y΄y.
12.Πότε μια συνάρτηση f ,με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέγεται περιττή; Απάντηση Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε x∈A ισχύει: −x∈A και f(−x) = −f(x). ΣΧΟΛΙΟ Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
Απάντηση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με f(x) = φ(x) + c, όπου c > 0 , προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω .
Απάντηση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με f(x) = φ(x) − c, όπου c > 0 , προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω .
Απάντηση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με f(x) = φ(x − c) , όπου c > 0 , προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες πρoς τα δεξιά .
16.Ποιά σχέση έχει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x) = φ(x + c) , όπου c > 0 με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης φ; Απάντηση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με f(x) = φ(x + c) , όπου c > 0 , προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες πρoς τα αριστερά . ΣΧΟΛΙΟ
Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουμε για να παραστήσουμε γραφικά τις συναρτήσεις της μορφής f(x) = φ(x ± c) ± d , με c , d > 0 .Δηλαδή, αξιοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης.