Απάντηση

Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής αx^ν, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος.
Μονώνυμο του x καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό.

Απάντηση

Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράστασης της μορφής: α_νx^ν + α_ν-1 x^ν-1+…+α₁x + α₀ , όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α₀, α₁, …, α_ν είναι πραγματικοί αριθμοί.

ΣΧΟΛΙΑ

Τα μονώνυμα α_νx^ν, α_ν-1x^ν-1 , … , α₁x, α₀  λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι αριθμοί α_ν, α_ν-1 , …, α₁, α₀ συντελεστές του. Ο α₀ λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου. 

Τα πολυώνυμα της μορφής α₀ , δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα , ενώ το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. 

Κάθε μονώνυμο είναι και πολυώνυμο.

Απάντηση

Δυο πολυώνυμα θα λέμε ότι είναι ίσα όταν έχουν τον ίδιο βαθμό και ίσους τους συντελεστές των ομοιοβάθμιων όρων τους. 

Γενικά δυο πολυώνυμα   α_μx^μ +…+α₁x+α₀     και    β_νx^ν +…+ β₁x + β₀,   με  μ ≥ ν  θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: α₀ = β₀,   α₁ = β₁,…, α_ν = β_ν  και      α_ν+1 = α_ν+2 =  … = α_μ = 0.

Απάντηση

Έστω ένα πολυώνυμο  Ρ(x) =α_νx^ν + α_ν-1 x^ν-1+…+α₁x + α₀.

Αν ένας από τους συντελεστές του είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε το Ρ(x) παίρνει τη μορφή:    α_κx^κ + α_κ-1x^κ-1 +…+α₁x + α₀, με α_κ ≠ 0 . Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός κ  λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x). (ο μεγαλύτερος εκθέτης της μεταβλητής x) 

ΣΧΟΛΙΑ

Αν όλοι οι συντελεστές του Ρ(x) είναι ίσοι με μηδέν, τότε το Ρ(x) είναι ίσο με το πολυώνυμο 0 (μηδενικό πολυώνυμο). 

Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0 , ενώ για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. 

Απάντηση

Έστω ένα πολυώνυμο  Ρ(x) =α_νx^ν + α_ν-1 x^ν-1+…+α₁x + α₀.

Αν αντικαταστήσουμε το x με ένα ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός Ρ(ρ) = α_νρ^ν + α_ν-1ρ^ν-1 +…+α₁ρ + α₀ που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για x=ρ. 

ΣΧΟΛΙΑ

Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x.

Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x.

Αν ένα πολυώνυμο έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x, τότε αυτό είναι το σταθερό πολυώνυμο c.

Αν δύο πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x, τότε τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα.

Απάντηση

Ένας αριθμός ρ λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου Ρ(x) αν η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x = ρ είναι ίση με μηδέν , δηλαδή ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) ,αν είναι Ρ(ρ) = 0. 

Απάντηση

Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δύο πολυωνύμων αποδεικνύεται ότι:

Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων.

Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών.

Απάντηση

Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x) ≠ 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x), τέτοια ώστε: Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x), όπου το υ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). 

ΣΧΟΛΙΑ

Όπως και στη διαίρεση μεταξύ φυσικών αριθμών το Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης. 

Η διαίρεση δυο πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) τελειώνει, όταν το υπόλοιπο υ(x) γίνει μηδέν (η διαίρεση είναι τέλεια) ή ο βαθμός του υ(x) γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη δ(x). 

Απάντηση

Αν σε μια διαίρεση δυο πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) ,είναι υ(x) = 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται Δ(x) = δ(x)·π(x) .

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ακόμη ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x).

Απάντηση

Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x – ρ γράφεται:

Ρ(x) = (x – ρ)·π(x) +υ(x).

Επειδή ο διαιρέτης x – ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ.

Έτσι έχουμε:

Ρ(x) = (x – ρ)·π(x) + υ.

Αν θέσουμε x = ρ, παίρνουμε Ρ(ρ) = (ρ – ρ)·π(ρ) + υ = 0 + υ = υ.

Επομένως Ρ(x) = (x – ρ)·π(x) + Ρ(ρ).

Απάντηση

Έστω ότι το x–ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε P(x) = (x – ρ)·π(x) .

Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P(x) = (ρ – ρ)·π(ρ) = 0 , που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x).

Αντιστρόφως:

Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση Ρ(x) = (x – ρ)·π(x) + Ρ(ρ) παίρνουμε Ρ(x) = (x – ρ)·π(x) , που σημαίνει ότι το x−ρ είναι παράγοντας του Ρ(x).

Απάντηση

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής:   

α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1 +…+ α₁ x + α₀ = 0,   α_ν ≠ 0 .

Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου
Ρ(x) = α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1 +…+ α₁ x + α₀ , δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0.

Απάντηση

Αν ο ρ ≠ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε:

α_νρ^ν + α_ν-1ρ^ν-1 +…+ α₁ρ + α₀ = 0 ⇔ α₀ = −α_νρ^ν − α_ν-1ρ^ν-1 −…− α₁ρ ⇔ α₀ = ρ(−α_νρ^ν-1 − α_ν-1ρ^ν-2 −…− α₁) .

Επειδή οι ρ, α₁, α₂,…, α_ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και ο −α_νρ^ν-1 − α_ν-1ρ^ν-2 −…− α₁ είναι ακέραιος.

Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α₀.

ΣΧΟΛΙΟ

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει. Με άλλα λόγια μπορεί ένας ακέραιος ρ να είναι διαιρέτης του α₀ , χωρίς αυτός να είναι κατ’ ανάγκη και ρίζα της εξίσωσης.