Απάντηση

Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Απάντηση

Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

i. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.

ii. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες.

iii. Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

i. και ii. 

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ . Έχουμε: B̂ ₁ = Δ̂ ₁ = ω (εντός εναλλάξ), ΒΔ κοινή πλευρά ,B̂₂ = Δ̂ ₂ = φ (εντός εναλλάξ).
Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ είναι ίσα, οπότε ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ. Επίσης έχουμε Â = Γ̂ και B̂ = Δ̂ = φ + ω.

iii.

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ. Έχουμε: ΑΒ = ΓΔ , B̂₁ = Δ̂ ₁ = ω (εντός εναλλάξ) ,Â₁ = Γ̂ ₁ = φ (εντός εναλλάξ).
Άρα, τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ είναι ίσα, οπότε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ.

ΠΟΡΙΣΜΑ

• Το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του.Για το λόγο αυτό λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου.
• Παράλληλα τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες είναι ίσα .
• Αν τα τμήματα  είναι κάθετα στις παράλληλες, το κοινό μήκος τους λέγεται απόσταση των παραλλήλων. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου και είναι κάθετο σε αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου, ενώ οι απέναντι πλευρές του λέγονται βάσεις ως προς αυτό το ύψος.

Απάντηση

Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις:

i. Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι ίσες.

ii. Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες.

iii. Οι απέναντι γωνίες ανά δύο είναι ίσες.

iv. Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Για να αποδείξουμε τα κριτήρια, θα πρέπει σύμφωνα με τον ορισμό να αποδείξουμε ότι σε κάθε περίπτωση, οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου είναι παράλληλες. 

i. Έστω ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ . Αν φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ, τότε σχηματίζονται τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ που είναι ίσα, γιατί ΑΒ = ΓΔ, ΑΔ = ΒΓ και ΒΔ κοινή πλευρά. Άρα B̂₁ = Δ̂ ₁ = ω και B̂₂ = Δ̂ ₂ = φ, οπότε ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

ii. Έστω ΑΒ// = ΓΔ . Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ είναι ίσα, γιατί ΑΒ = ΓΔ, B̂₁ = Δ̂ ₁ = ω και η ΒΔ είναι κοινή πλευρά. Επομένως, όμοια με το i), το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

iii. Αν Â = Γ̂  = ω και B̂ = Δ̂  = φ  η σχέση Â + B̂ + Γ̂ + Δ̂ = 360° γράφεται 2ω + 2φ = 360° ή φ + ω = 180°. Επομένως, έχουμε ότι Â + Δ̂  = 180°, οπότε ΑΒ // ΓΔ και Â + B̂ = 180°, οπότε ΑΔ // ΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

iv. Έστω ΑΟ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ . Τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ, καθώς και τα τρίγωνα ΑΟΔ και ΒΟΓ είναι ίσα. Επομένως, όμοια με το i), θα είναι ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

4.Να γράψετε τον ορισμό του ορθογωνίου.

Απάντηση

Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή.

Απάντηση

Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ΑΒΓΔ ορθογώνιο. Θα αποδείξουμε ότι οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες . 

Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα (Â = Δ̂ = 90°, ΑΔ κοινή, ΑΒ = ΔΓ), οπότε ΑΓ = ΒΔ.

Απάντηση

Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις:

i. Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία.

ii. Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

iii. Έχει τρεις γωνίες ορθές.

iv. Όλες οι γωνίες του είναι ίσες.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

i. Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του ορθογωνίου.

ii. Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ = ΒΔ. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα (ΑΒ = ΔΓ, ΑΓ = ΒΔ, ΑΔ κοινή), οπότε Â = Δ̂. Αλλά Â + Δ̂ = 180°, οπότε Â = Δ̂ = 90°. Επομένως, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο.

iii. Αν έχει τρεις ορθές γωνίες θα είναι και η άλλη ορθή, αφού το άθροισμα των γωνιών κάθε τετραπλεύρου είναι 360°.

iv. Αν όλες οι γωνίες είναι ίσες, προφανώς όλες είναι ορθές.

Απάντηση

Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Απάντηση

i. Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα.

ii. Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ΑΒΓΔ ρόμβος. Επειδή το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές, η διάμεσος του ΑΟ είναι ύψος του και διχοτόμος της γωνίας Â. Επομένως ΑΓ⊥ΒΔ και η ΑΓ διχοτομεί την Â. Όμοια η ΑΓ διχοτομεί τη Γ̂  και η ΒΔ τις B̂ και Δ̂ .

Απάντηση

Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις:

i. Έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

ii. Είναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.

iii. Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα.

iv. Είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

i. και ii. 

Προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό του ρόμβου.

iii. Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ⊥ΒΔ. Στο τρίγωνο ΑΒΔ η ΑΟ είναι διάμεσος, αφού οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Επίσης, η ΑΟ είναι και ύψος, επειδή ΑΓ⊥ΒΔ. Άρα το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές, οπότε ΑΒ = ΑΔ. Επομένως το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. 

iv. Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και ΑΓ διχοτόμος της Â. Τότε πάλι το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές (αφού ΑΟ διχοτόμος και διάμεσος), οπότε το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.

Απάντηση

Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

Απάντηση

Από τον ορισμό προκύπτει ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου και όλες τις ιδιότητες του ρόμβου. Επομένως, σε κάθε τετράγωνο:

i. Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.

ii. Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.

iii. Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.

iv. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του.

Απάντηση

Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

Αποδεικνύεται ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο, αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

i. Μία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.

ii. Μία γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του.

iii. Μία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του κάθετες.

iv. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.

v. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και η μία διχοτομεί μία γωνία του.

vi. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες.

Απάντηση

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα . Θα αποδείξουμε ότι .

Προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα EZ = ΔΕ. Το τετράπλευρο ΑΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ = // ΓΖ, οπότε ΔΒ = // ΓΖ, αφού ΑΔ = ΔΒ. Έτσι το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε:

(i) ΔΖ // ΒΓ άρα ΔΕ // ΒΓ και (ii) ΔΖ = ΒΓ ή 2ΔΕ = ΒΓ ή  .

Απάντηση

Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ας φέρουμε από το μέσο Δ της ΑΒ την παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε . Θα αποδείξουμε ότι το Ε είναι το μέσο της ΑΓ.

Έστω ότι το Ε δεν είναι μέσο της ΑΓ. Αν Z είναι το μέσο της ΑΓ, το τμήμα ΔΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα ΔΖ // ΒΓ. Έτσι, όμως, έχουμε από το Δ δύο παράλληλες προς τη ΒΓ, που είναι άτοπο. Άρα το Ε είναι μέσο της ΑΓ.

Απάντηση

Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε₁, ε₂, ε₃ οι οποίες τέμνουν την δ₁ στα σημεία Α, Β, Γ και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ . Αν μια άλλη ευθεία δ₂ τέμνει τις ε₁, ε₂, ε₃ στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι ΔΕ = ΕΖ. 

Φέρουμε ΑΚ // ΔΖ. Τότε τα τετράπλευρα ΑΔΕΗ και ΕΖΚΗ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε ΑΗ = ΔΕ (1) και ΗΚ = ΕΖ (2). Στο τρίγωνο ΑΚΓ το Β είναι το μέσο της ΑΓ και ΒΗ // ΓΚ. Άρα το Η είναι μέσο της ΑΚ, δηλαδή ΑΗ = ΗΚ (3). Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι ΔΕ = ΕΖ.

ΣΧΟΛΙΟ

• Η μεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων.

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες ε₁ και ε₂ είναι μία ευθεία ε παράλληλη προς τις ε₁ και ε₂, η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δύο παράλληλες.
Η ευθεία ε λέγεται μεσοπαράλληλος των ε₁ και ε₂.

• Τα μέσα των πλευρών ενός κυρτού ή μη κυρτού τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

Απάντηση

Το σημείο στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι κάθε τριγώνου, λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου.
Η απόσταση του βαρυκέντρου Θ ενός τριγώνου ΑΒΓ από κάθε κορυφή του ισούται με τα ²/₃ του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου.

Απάντηση

Από τις κορυφές Α, Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές του, οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο ΚΛΜ .
Λόγω των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων ΚΑΓΒ, ΛΑΒΓ και ΜΒΑΓ έχουμε: ΚΑ = ΒΓ = ΑΛ, ΛΓ = ΑΒ = ΓΜ και ΚΒ = ΑΓ = ΒΜ.
Επομένως τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ.

Απάντηση

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Από τις κορυφές του Α, Β, Γ φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές . Στο τρίγωνο ΚΛΜ τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι κάθετες στις ΚΛ, ΚΜ και ΜΛ αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ) και μάλιστα είναι κάθετες στα μέσα τους.

Δηλαδή οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ, οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σημείο Η. Το σημείο Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

 ΠΟΡΙΣΜΑ

Οι κορυφές Α, Β, Γ, τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρό του Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία. 

Απάντηση

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â= 90°) και τη διάμεσό του ΑΜ . Θα αποδείξουμε ότι  .

Φέρουμε τη διάμεσο ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ. Το ΜΔ συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ, οπότε ΜΔ // ΑΒ. Αλλά ΑΒ⊥ΑΓ, επομένως και ΜΔ⊥ΑΓ. Άρα, το ΜΔ είναι ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο ΑΜΓ, οπότε ΑΜ = ΜΓ, δηλαδή  .

Απάντηση

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάμεσό του ΑΜ . 

Αν     , θα αποδείξουμε ότι η γωνία Â είναι ορθή.

Επειδή     έχουμε ΑΜ = ΜΓ, οπότε Â₁ = Γ̂ (1) και ΑΜ = ΜΒ, οπότε Â₂ = B̂ (2).
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Â₁ + Â₂ = B̂ + Γ̂ , δηλαδή Â = B̂ + Γ̂ . Αλλά Â + B̂ + Γ̂ = 180°, οπότε 2Â =180° ή Â = 90°.

Απάντηση

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â= 90°) με B̂ = 30° .

Θα αποδείξουμε ότι .

Επειδή B̂ = 30°, είναι Γ̂  = 90° – 30° = 60°. Φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ και είναι ΑΜ = ΒΓ = ΜΓ. Έτσι Â2 = Γ̂ = 60°, οπότε το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο. Επομένως  .

Αντίστροφο.

Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ,θα αποδείξουμε ότι B̂ = 30°.

Φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ, οπότε  .Άρα το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο, οπότε Γ̂  = 60°. Επομένως B̂ = 90° – 60° = 30°.

Απάντηση

Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες.

ΣΧΟΛΙΟ

Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ και ΓΔ  του τραπεζίου ΑΒΓΔ λέγονται βάσεις του τραπεζίου. 

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στις βάσεις του τραπεζίου με τα άκρα του στους φορείς των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου.

Απάντηση

Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) , τη διαγώνιο του ΒΔ και Ε το μέσο της ΑΔ. Από το Ε φέρουμε ευθεία ε παράλληλη των ΑΒ και ΓΔ που τέμνει τις ΒΔ και ΒΓ στα Κ και Ζ αντίστοιχα. Τότε: 

Στο τρίγωνο ΑΒΔ το Ε είναι μέσο της ΑΔ και ΕΚ//ΑΒ, οπότε το Κ είναι το μέσο της ΒΔ και  (1).

Επίσης στο τρίγωνο ΒΔΓ το Κ είναι μέσο της ΒΔ και ΚΖ // ΓΔ, οπότε το Ζ είναι το μέσο της ΒΓ και   (2).

Επομένως η ΕΖ είναι διάμεσος του τραπεζίου και ΕΖ // ΑΒ, ΓΔ (από κατασκευή). 

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι  ή .

Απάντηση

Αποδείξαμε παραπάνω ότι το Κ είναι μέσο της ΒΔ . Όμοια, αν φέρουμε την ΑΓ , στο τρίγωνο ΑΔΓ το Ε είναι μέσο της ΑΔ και ΕΛ // ΓΔ, οπότε το Λ είναι μέσο της ΑΓ και   .(3)

Επομένως, η διάμεσος ΕΖ του τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Κ, Λ των διαγωνίων του και προφανώς ΚΛ // ΑΒ, ΓΔ. Επίσης από τις (1) και (3) προκύπτει ότι:

  ή     (με ΓΔ > ΑΒ).

Απάντηση

Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

Απάντηση

Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε:

i. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες.

ii. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i. Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο (ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ). Φέρουμε τα ύψη ΑΗ και ΒΚ. Τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΒΚΓ είναι ίσα (Ĥ = K= 90°, ΑΔ = ΒΓ και ΑΗ = ΒΚ = υ), οπότε Γ̂= Δ̂ . Επειδή Â + Δ̂ = 180° και B+ Γ̂ = 180° (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), έχουμε και Â = B̂ .

ii.Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ είναι ίσα (ΑΔ = ΒΓ, ΓΔ κοινή και ΑΔ̂ Γ = ΒΓ̂ Δ), οπότε ΑΓ = ΒΔ.

Απάντηση
Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις.

i. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες.

ii. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες.