Θεωρία στη Γεωμετρία Γενικής Παιδείας Β΄Λυκείου

Μετρικές Σχέσεις

1.Τί ονομάζουμε ορθή προβολή ή απλώς προβολή ενός σημείου Α αλλα και ενός ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ σε μια ευθεία ε;

Απάντηση

Έστω μία ευθεία ε και ένα σημείο Α που δεν ανήκει σε αυτή. Το ίχνος Αʹ της καθέτου που φέρουμε από το Α προς την ε το λέμε ορθή προβολή ή απλώς προβολή του Α στην ευθεία ε. Αν το σημείο είναι σημείο της ευθείας, π.χ. το Β, τότε ως προβολή του Βʹ πάνω στην ε θεωρούμε το ίδιο το Β. Τέλος ορθή προβολή του τμήματος ΓΔ πάνω στην ευθεία ε λέμε το τμήμα ΓʹΔʹ που έχει ως άκρα τις ορθές προβολές Γʹ, Δʹ των άκρων Γ, Δ, αντίστοιχα, του τμήματος ΓΔ πάνω στην ε.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

2.Nα αποδείξετε οτι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα.

Απάντηση

Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσα ΒΓ. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι ΑΒ ² = ΒΓ ∙ ΒΔ και ΑΓ ² = ΒΓ ∙ ΓΔ.

Για την πρώτη σχέση αρκεί να αποδείξουμε ότι $\large \frac{AB}{B\Delta }=\frac{B\Gamma }{AB}$ ,δηλαδή ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια, το οποίο ισχύει αφού Â = Δ̂ = 90° και η B̂ είναι κοινή. Όμοια αποδεικνύεται και η σχέση ΑΓ ² = ΒΓ ∙ ΓΔ.

ΣΧΟΛΙΟ

Διαιρώντας τις ΑΒ ² = ΒΓ ∙ ΒΔ και ΑΓ ² = ΒΓ ∙ ΓΔ κατά μέλη προκύπτει το εξής πόρισμα:

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος με το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

3.Να αποδείξετε οτι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.(ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ)

Απάντηση

Θέλουμε δηλαδή να αποδείξουμε ότι AB ² + ΑΓ ² = ΒΓ ² ή α ² = β ² + γ ² .Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα έχουμε:

ΑΒ ² = ΒΓ ∙ ΒΔ και ΑΓ ² = ΒΓ ∙ ΓΔ .
Με πρόσθεση των ισοτήτων κατά μέλη προκύπτει ότι:

ΑΒ ² + ΑΓ ² = ΒΓ ∙ ΒΔ + ΒΓ ∙ ΓΔ = ΒΓ(ΒΔ + ΓΔ) = ΒΓ ∙ ΒΓ = ΒΓ ².

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

4.Να αποδείξετε οτι αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ ² + ΑΓ ² = ΒΓ ², τότε Â = 90°. (ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ)

Απάντηση

Πάνω στις πλευρές Ox, Oy ορθής γωνίας xÔy θεωρούμε αντίστοιχα τμήματα ΟΔ = ΑΒ και ΟΕ = ΑΓ. Επειδή το τρίγωνο ΟΔΕ είναι ορθογώνιο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα και την υπόθεση, έχουμε ΔΕ ² = ΟΔ ² + ΟΕ ² = ΑΒ ² +ΑΓ ² = ΒΓ ². Άρα ΔΕ = ΒΓ. Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΟΔΕ είναι ίσα, γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες, οπότε θα είναι Â = Ô = 90°, που είναι το ζητούμενο.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

5.Να αποδείξετε οτι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα.

Απάντηση

Έστω ΑΔ το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ , που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Θα αποδείξουμε ότι ΑΔ ² = ΒΔ ∙ ΔΓ .Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΑΔ είναι όμοια, αφού είναι ορθογώνια και Â₁ = Γ̂ ως συμπληρωματικές της B̂ . Επομένως, οι πλευρές τους είναι ανάλογες, δηλαδή $\large \frac{A\Delta }{B\Delta }=\frac{\Delta \Gamma }{A\Delta }$ , οπότε ΑΔ ² = ΒΔ ∙ ΔΓ.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

6.Nα αποδείξετε οτι το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή.

Απάντηση

Αν δηλαδή σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι π.χ. Â < 90° και ΑΔ η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, τότε θα αποδείξουμε οτι ισχύει α ² = β ² + γ ² – 2β ∙ ΑΔ .

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΒΓ, ΔΒΑ έχουμε, με εφαρμογές του Πυθαγόρειου θεωρήματος αντίστοιχα: α ² = ΔΒ ² + ΔΓ ² και ΔΒ ² = γ ² – ΑΔ ² .Επειδή είναι Â < 90° τα Δ, Γ βρίσκονται προς το ίδιο μέρος του Α και ειδικότερα:

→αν Γ̂ < 90° το Δ είναι μεταξύ των Α, Γ, οπότε ΔΓ = β – ΑΔ.

→αν Γ̂ > 90° το Γ είναι μεταξύ των Α, Δ, οπότε ΔΓ = ΑΔ – β.

Από τις δύο τελευταίες ισότητες προκύπτει ότι ΔΓ ² = (β – ΑΔ) ² = β ² + ΑΔ ² – 2β ∙ ΑΔ.
Με αντικατάσταση αυτής της σχέσης και της ΔΒ ² = γ ² – ΑΔ ² στην α ² = ΔΒ ² + ΔΓ ² προκύπτει ότι:

α ² = γ ² – ΑΔ ² + β ² + ΑΔ ² – 2β ∙ ΑΔ = β ² + γ ² – 2β ∙ ΑΔ, δηλαδή η ζητούμενη ισότητα.

→αν τέλος Γ̂ = 90°, το Δ συμπίπτει με το Γ και το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΒ δίνει α ² = γ ² – β ² που γράφεται α ² = β ² + γ ² – 2β∙ΑΔ , αφού ΑΔ = β.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

7.Nα αποδείξετε οτι το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή.

Απάντηση

Αν δηλαδή σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι π.χ. Â > 90° και ΑΔ η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, τότε θα αποδείξουμε οτι ισχύει α ² = β ² + γ ² + 2β ∙ ΑΔ .

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΒΓ, ΔΒΑ έχουμε, με εφαρμογές του Πυθαγόρειου θεωρήματος αντίστοιχα: α ² = ΔΒ ² + ΔΓ ² και ΔΒ ² = γ ² – ΑΔ ² .Επειδή είναι Â > 90° το Δ βρίσκεται στην προέκταση της ΓΑ προς το Α και επομένως ΔΓ = β + ΑΔ οπότε ΔΓ ² = (β + ΑΔ) ² = β ² + ΑΔ ² + 2β ∙ ΑΔ.

Με αντικατάσταση των σχέσεων ΔΒ ² = γ ² – ΑΔ ² και ΔΓ ² = (β + ΑΔ) ² = β ² + ΑΔ ² + 2β ∙ΑΔ
στη σχέση α ² = ΔΒ ² + ΔΓ ², προκύπτει η ζητούμενη ισότητα ,

α ² = γ ² – ΑΔ ² + β ² + ΑΔ ² + 2β∙ΑΔ = β ² + γ ² + 2β∙ΑΔ.

ΣΧΟΛΙΟ

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα και τα προηγούμενα θεωρήματα προκύπτει άμεσα ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:

Αν Â < 90°, τότε α ² < β ² + γ ²
Αν Â = 90°, τότε α ² = β ² + γ ²
Αν Â > 90°, τότε α ² > β ² + γ ²

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

8.Πως μπορούμε να βρούμε το είδος ως προς τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ ,αν γνωρίζουμε τις πλευρές του;

Απάντηση
Για να βρούμε το είδος ως προς τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ ,αν γνωρίζουμε τις πλευρές του ,βασιζόμαστε στο παρακάτω Πόρισμα:

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναμίες:

α ² > β ² + γ ², αν και μόνο αν Â > 90°

α ² = β ² + γ ², αν και μόνο αν Â = 90°

α ² < β ² + γ ², αν και μόνο αν Â < 90°

Σύμφωνα με το πόρισμα αυτό και επειδή σε κάθε τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι στη μεγαλύτερη γωνία, συγκρίνοντας το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ενός τριγώνου με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων πλευρών του, διαπιστώνουμε αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

9.Να γράψετε το νόμο των συνημιτόνων.

Απάντηση

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:

α ² = β ² + γ ² – 2βγ ∙ συνÂ.

β ² = α ² + γ ² – 2αγ ∙ συνB̂.

γ ² = α ² + β ² – 2αβ ∙ συνΓ̂.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

10.Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς.(1^ο θεώρημα διαμέσων)

Απάντηση

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, η διάμεσος AM = μ_α και το ύψος ΑΔ. Αν ΑΓ > ΑΒ, τότε το ίχνος Δ του υ_α βρίσκεται μεταξύ των Β, Μ και ΑM̂ Γ > 90°, ενώ ΑM̂ Β < 90°. Εφαρμόζουμε το θεώρημα αμβλείας γωνίας στο τρίγωνο ΑΜΓ και το θεώρημα οξείας γωνίας στο τρίγωνο ΑΜΒ. Τότε θα έχουμε ότι:

i. ΑΓ ² = ΑΜ ² + ΜΓ ² + 2ΜΓ∙ΜΔ και ii. ΑΒ ² = ΑΜ ² + ΜΒ ² – 2ΜΒ∙ΜΔ

Προσθέτοντας κατά μέλη αυτές τις σχέσεις και λαμβάνοντας υπόψη ότι ΜΒ = ΜΓ έχουμε:

ΑΓ ² + ΑΒ ² = 2ΑΜ ² + 2ΜΒ ² = 2ΑΜ ² + $\large 2(\frac{B\Gamma}{2} )^2$ = $\large 2AM ^2+\frac{B\Gamma^2}{2}$ ή $\large \beta ^2+\gamma ^2 = 2\mu _a ^2+\frac{a^2}{2}$ .

Ανάλογα έχουμε και τους ακόλουθους τύπους:

$\large a ^2+\beta ^2 = 2\mu _\gamma ^2+\frac{\gamma ^2}{2}$ και $\large a ^2+\gamma ^2 = 2\mu _\beta ^2+\frac{\beta ^2}{2}$ .

ΣΧΟΛΙΟ

Από τους τύπους αυτούς μπορούμε να υπολογίσουμε τα τετράγωνα των διαμέσων ως συνάρτηση των πλευρών του τριγώνου:

$\large \mu _a^2=\frac{2\beta^2+2\gamma^2-a^2}{4}$

$\large \mu _\beta ^2=\frac{2a^2+2\gamma^2-\beta^2}{4}$

$\large \mu _\gamma ^2=\frac{2a^2+2\beta^2-\gamma ^2}{4}$

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

11.Nα αποδείξετε οτι η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή. (2^ο θεώρημα διαμέσων)

Απάντηση

Έστω ότι ΑΓ > ΑΒ. Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις

i. ΑΓ ² = ΑΜ ² + ΜΓ ² + 2ΜΓ∙ΜΔ και ii. ΑΒ ² = ΑΜ ² + ΜΒ ² – 2ΜΒ∙ΜΔ (1ο θεώρημα διαμέσων) ,βρίσκουμε ότι ΑΓ ² – ΑΒ ² = 4ΜΒ ∙ ΜΔ = $\large 4\cdot \frac{B\Gamma }{2}\cdot M\Delta$ ή β ² – γ ² = 2α ∙ ΜΔ.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

12.Nα αποδείξετε οτι αν δύο χορδές ΑΒ, ΓΔ ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει ΡΑ ∙ ΡΒ = ΡΓ ∙ ΡΔ.

Απάντηση

Τα τρίγωνα ΡΑΓ και ΡΒΔ είναι όμοια, αφού

ΡÂΓ = ΡΔ̂ Β γιατί το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο και η ΡÂΓ είναι εξωτερική του γωνία και ΡΓ̂ Α = ΡB̂ Δ .

Τα τρίγωνα ΡΑΓ και ΡΒΔ είναι όμοια, αφού ΡÂΓ = ΡΔ̂ Β και ΡΓ̂ Α = ΡB̂ Δ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο .

Επομένως, ισχύει ότι $\large \frac{PA}{P\Delta }=\frac{P\Gamma }{PB}$ ή ΡΑ ∙ ΡΒ = ΡΓ ∙ ΡΔ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

13.Αν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (O, R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β, τότε να αποδείξετε οτι ισχύει ΡΕ ² = ΡΑ ∙ ΡΒ.

Απάντηση

Φέρουμε την ευθεία ΡΟ η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ. Θέτουμε ΟΡ = δ, οπότε από το προηγουμενο θεώρημα έχουμε ότι:

ΡΑ ∙ ΡΒ = ΡΓ ∙ ΡΔ = (δ – R)(δ + R)= δ ² – R ² .

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΡΟΕ προκύπτει ότι PE ² = PO ² – OE ²= δ ² – R ² .

Άρα ΡΕ² = ΡΑ ∙ ΡΒ.

ΣΧΟΛΙΟ

Στην προηγούμενη απόδειξη είδαμε ότι αν μια ευθεία διέρχεται από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο, R) και τέμνει τον κύκλο σε σημεία Α, Β τότε ΡΑ ∙ ΡΒ = δ ² – R ².

Όμοια αποδεικνύεται ότι ΡΑ ∙ ΡΒ = R ² – δ ², αν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

14.Τι ονομάζουμε δύναμη ενός σημείου ως προς κύκλο;

Απάντηση

Έστω σημείο Ρ και κύκλος (Ο, R) ,με ΟΡ = δ .Η διαφορά δ ² – R ² λέγεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O, R) και συμβολίζεται $\large \Delta ^{P}_{(O,R)}$ = δ ² – R ² = ΟΡ ² – R ².

ΣΧΟΛΙΟ

Από τον ορισμό της δύναμης σημείου ως προς κύκλο καταλαβαίνουμε ότι ουσιαστικά εκφράζει τη σχετική θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O, R), καθώς εξαρτάται μόνο από το δ, δηλαδή την απόσταση του Ρ από το κέντρο του κύκλου.

Επομένως, έχουμε ότι:

→Το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (O, R) αν και μόνο αν $\large \Delta ^{P}_{(O,R)}>0$ .