Θεωρία στη Γεωμετρία Γενικής Παιδείας Β΄Λυκείου

Εμβαδά

1.Να αποδείξετε οτι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται με το γινόμενο των πλευρών του.

Απάντηση

Έστω ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ, με ΑΒ = α και ΑΔ = β .Θα αποδείξουμε οτι το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι: Ε = α ∙ β .

Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ = α, την ΑΒ κατά ΒΙ = β και σχηματίζουμε το τετράγωνο ΑΙΗΕ, το οποίο είναι φανερό ότι έχει πλευρά α + β και επομένως είναι: (ΑΙΗΕ) = (α + β) ² (1).

Προεκτείνοντας τις ΔΓ και ΒΓ σχηματίζονται τα τετράγωνα ΔΓΖΕ, ΒΙΘΓ με πλευρές α, β αντίστοιχα και το ορθογώνιο ΓΘΗΖ που είναι ίσο με το ΑΒΓΔ.

Έτσι έχουμε (ΔΓΖΕ) = α ², (ΒΙΘΓ) = β ² και (ΓΘΗΖ) = (ΑΒΓΔ) (2) .

Είναι φανερό όμως ότι (ΑΙΗΕ) = (ΑΒΓΔ) + (ΓΘΗΖ) + (ΒΙΘΓ) + (ΔΓΖΕ), από την οποία με τη βοήθεια των (1) και (2) προκύπτει ότι: (α + β) ² = 2(ΑΒΓΔ) + α ² + β ². Από αυτή μετά τις πράξεις καταλήγουμε στη σχέση (ΑΒΓΔ) = α ∙ β.

ΣΧΟΛΙΟ

Το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου πλευράς α είναι α ², δηλαδή: Ε = α ².

Για το εμβαδόν δεχόμαστε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες (αξιώματα):

Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά.
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή μια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασμένου πλήθους πολυγωνικά χωρία, που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, τότε το εμβαδόν του ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους πολυγωνικών χωρίων.
Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1.
Αν ένα πολύγωνο Ρ περιέχεται στο εσωτερικό ενός άλλου πολυγώνου Π , τότε το εμβαδόν του Ρ είναι μικρότερο του εμβαδού του Π.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

2.Nα αποδείξετε οτι το εμβαδόν Ε ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή.

Απάντηση

Έστω ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με ΑΒ = β και ΒΓ = α και υ_α, υ_β τα αντίστοιχα ύψη.

Θα αποδείξουμε οτι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι: Ε = α·υ_α = β·υ_β .

Φέρνουμε το ύψος ΑΖ που αντιστοιχεί στη ΒΓ.

Από το Δ φέρουμε ΔΗ κάθετη στην προέκταση της ΒΓ.

Τότε τα τρίγωνα ΖΒΑ και ΗΓΔ είναι ίσα (Ẑ = Ĥ = 90°, ΑΒ = ΔΓ και B̂ 1 = Γ̂ 1), οπότε: (ΖΒΑ) = (ΗΓΔ) (1).

Από το σχήμα όμως έχουμε ότι (ΑΒΓΔ) = (ABZ) + (ΑΖΓΔ), οπότε σύμφωνα με την (1) προκύπτει ότι (ΑΒΓΔ) = (ΑΖΓΔ) + (ΔΓΗ) = (ΑΖΗΔ). Επομένως σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα έχουμε

(ΑΒΓΔ) = (ΑΖΗΔ) = ΑΔ ∙ ΑΖ = ΒΓ ∙ ΑΖ,που είναι το ζητούμενο.

ΣΧΟΛΙΟ

Το εμβαδόν του ρόμβου ,αλλά και οποιουδήποτε κυρτού ή μη κυρτού, τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

3.Nα αποδείξετε οτι το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος.

Απάντηση

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο ,θα αποδείξουμε οτι $\large E= \frac{1}{2}a\cdot \upsilon _a=\frac{1}{2}\beta \cdot \upsilon _\beta =\frac{1}{2}\gamma \cdot \upsilon _\gamma$ .

Με πλευρές ΑΒ και ΒΓ σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, το εμβαδόν του οποίου είναι (ΑΒΓΔ) = α∙υ_α (1).
Όμως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΑΓ είναι ίσα, οπότε: (ΑΒΓ) = (ΑΔΓ) (2).
Από το σχήμα έχουμε ότι (ΑΒΓΔ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓΔ) η οποία, σύμφωνα με τις (1) και (2), μετατρέπεται στην α · υ_α = 2(ΑΒΓ) ή $\large (AB\Gamma )= \frac{1}{2}a\cdot \upsilon _a$ .

ΣΧΟΛΙΟ

Το εμβαδόν Ε ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο με $\large E=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ .

Το εμβαδόν Ε ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές β και γ είναι ίσο με $\large E=\frac{1}{2}\beta \cdot \gamma$ .

Η διάμεσος ενός τριγώνου διχοτομεί το εμβαδόν του.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

4.Nα αποδείξετε οτι το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του.

Απάντηση

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΒΓ//ΑΔ) με βάσεις ΒΓ = Β, ΑΔ = β και υ το ύψος του.

Θα αποδείξουμε οτι $\large E=\frac{(B+\beta) }{2}\cdot \upsilon$ .

Φέρουμε τη διαγώνιο ΑΓ. Τότε έχουμε Ε = (ΑΒΓΔ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓΔ) (1).
Αλλά τα δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ έχουν το ίδιο ύψος υ και βάσεις Β, β αντίστοιχα και επομένως:

$\large (AB\Gamma )=\frac{1 }{2}B\cdot \upsilon$ και $\large (AB\Delta )=\frac{1 }{2}\beta \cdot \upsilon$ (2)

Με αντικατάσταση των σχέσεων (2) στην (1) προκύπτει ότι $\large E=\frac{(B+\beta) }{2}\cdot \upsilon$ , δηλαδή το ζητούμενο.

ΠΟΡΙΣΜΑ

Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου επί το ύψος του.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

5.Nα αποδείξετε οτι το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δινεται και από τον τύπο $\large (AB\Gamma )=\sqrt{\tau (\tau -a)(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}$ (τύπος του Ήρωνα), όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Απάντηση

Γνωρίζουμε απο προηγούμενη εφαρμογή οτι $\large \upsilon_a=\frac{2}{a}\sqrt{\tau (\tau -a)(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}$ , οπότε έχουμε:

$\large (AB\Gamma )=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \upsilon _a = \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{2}{a}\sqrt{\tau (\tau -a)(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}$ .

Επομένως $\large (AB\Gamma )=\sqrt{\tau (\tau -a)(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

6.Nα αποδείξετε οτι το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δινεται και από τον τύπο Ε = τρ, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Απάντηση

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα ΙΑ, ΙΒ και ΙΓ και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα ΙΒΓ, ΙΓΑ και ΙΑΒ που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε:

Ε = (ΑΒΓ) = (ΙΒΓ) + (ΙΓΑ) + (ΙΑΒ) = $\large \frac{1}{2}a\cdot \rho +\frac{1}{2}\beta \cdot \rho +\frac{1}{2}\gamma \cdot \rho =\frac{1}{2}(a+\beta +\gamma )\cdot \rho =\frac{1}{2}\cdot 2\tau \cdot \rho =\tau \cdot \rho$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

7.Nα αποδείξετε οτι το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δινεται και από τον τύπο $\large E=\frac{a\cdot \beta \cdot \gamma }{4R}$ , όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Απάντηση

Είναι γνωστό ότι βγ = 2Rυ_α , οπότε έχουμε ότι $\large \upsilon _a=\frac{\beta \cdot \gamma }{2R}$ και με αντικατάσταση στον τύπο $\large E= \frac{1}{2}a\cdot \upsilon _a$ προκύπτει το ζητούμενο.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

8.Nα αποδείξετε οτι το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δινεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο: $\large E=\frac{1}{2}\beta \cdot \gamma \cdot \eta \mu \widehat{A}=\frac{1}{2}a \cdot \gamma \cdot \eta \mu \widehat{B}=\frac{1}{2}a \cdot \beta \cdot \eta \mu \widehat{\Gamma }$ .

Απάντηση

Αν Â < 90° , από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ προκύπτει ότι:

υ_β = γ∙ημÂ.

Αν Â > 90°, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ προκύπτει ότι:

υ_β = γ ∙ ημÂ_εξ = γ ∙ ημ(180^ο – Â)= γ ∙ ημÂ.

Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υ_β = γ ∙ ημÂ οπότε: $\large E=\frac{1}{2}\beta \cdot \upsilon _\beta =\frac{1}{2}\beta \cdot \gamma \cdot \eta \mu \widehat{A}$ .

Όταν Â =90°, τότε υ_β = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει. Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι.

ΣΧΟΛΙΟ

Νόμος ημιτόνων

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: $\large \frac{a}{\eta \mu \hat{A}}=\frac{\beta }{\eta \mu \hat{B}}=\frac{\gamma }{\eta \mu \hat{\Gamma }}=2R$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

9.Mε πόσο ισούται ο λόγος των εμβαδών δυο τριγώνων ,αν αυτά έχουν ίσες βάσεις;

Απάντηση

Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

10.Mε πόσο ισούται ο λόγος των εμβαδών δυο τριγώνων ,αν αυτά έχουν ίσα ύψη;

Απάντηση

Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

11.Να αποδείξετε οτι αν δυο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας.

Απάντηση

Έστω δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με Â= Âʹ και B̂ = B̂ ʹ.

Τότε $\large \frac{a}{a'}=\frac{\upsilon _a}{\upsilon _{a '}}$ (1), όπου λ ο λόγος ομοιότητας. Αλλά όπως και παραπάνω, είναι $\large \frac{E}{E'}=\frac{a}{a '}\cdot \frac{\upsilon _a}{\upsilon _{a '}}$ (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι $\large \frac{E}{E'}=\lambda ^2$ .

ΣΧΟΛΙΟ

Το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει γενικότερα και για όμοια πολύγωνα, όπως μας βεβαιώνει το επόμενο θεώρημα:

Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

12.Να αποδείξετε οτι αν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές.

Απάντηση

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με Â = Âʹ ή Â + Âʹ = 180° . Τότε και στις δύο περιπτώσεις θα ισχύει ημÂ = ημÂʹ, οπότε από τις ισότητες $\large E=\frac{1}{2}\beta \cdot \gamma \cdot \eta \mu \hat{A}$ και $\large E'=\frac{1}{2}\beta' \cdot \gamma' \cdot \eta \mu \hat{A'}$ με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι $\displaystyle \large \frac{E}{E'}=\frac{\beta \cdot \gamma }{\beta' \cdot \gamma'}$ , που είναι το ζητούμενο.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

Pages: 1 2 3

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
« Ιαν
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31