Απάντηση

Ιστόγραμμα συχνοτήτων είναι η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα.

Κατασκευάζεται ως εξής: Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια, σχηματίζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς), από καθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής.

Το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων προκύπτει από ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων αν θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος, με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων.

Απάντηση

Αν έχουμε διάγραμμα απολύτων συχνοτήτων το εμβαδόν αυτό είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος.

Αν έχουμε διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων το εμβαδόν αυτό είναι 1 ενώ αν έχουμε διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων  % το εμβαδόν αυτό είναι 100. 

18.Πως ορίζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ; 

Απάντηση

Όταν σε ένα δείγμα μεγέθους ν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι t₁ ,t₂ ,…,t_v , τότε η μέση τιμή x δίνεται από τη σχέση:

   ,

ή ισοδύναμα από τη σχέση:

   ,όπου x₁ , x₂ ,…, x_κ είναι οι τιμές της μεταβλητής Χ και v₁ ,v₂ ,…, v_κ οι αντίστοιχες συχνότητες. 

19.Πως εκφράζεται η μέση τιμή από τις τιμές μίας μεταβλητής και τις σχετικές συχνότητες τους; 

Απάντηση
 .

Απάντηση

Αν  w₁ ,w₂ ,…, w_v , είναι οι συντελεστές βαρύτητας, ενός δείγματος v παρατηρήσεων  x₁ ,x₂ ,…, x_v , μιας ποσοτικής μεταβλητής X, τότε ο σταθμικός μέσος, ορίζεται ως εξής:

.

Απάντηση
 Η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το  ν  είναι άρτιος αριθμός. 

ΣΧΟΛΙΟ

Η διάμεσος είναι η τιμή που χωρίζει ένα σύνολο παρατηρήσεων σε δύο ίσα μέρη όταν οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθούν με σειρά τάξης μεγέθους. Ακριβέστερα, η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτήν. 

Η διάμεσος δεν επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις σε αντίθεση με τη μέση τιμή.

22.Τι ονομάζεται εύρος μίας κατανομής;

Απάντηση
Εύρος R μιας κατανομής ονομάζεται η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος.

R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-Μικρότερη παρατήρηση.

ΣΧΟΛΙΟ

To εύρος δεν θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. 

23.Τι ονομάζεται διακύμανση  ή διασπορά των παρατηρήσεων  t₁ ,t₂ ,…,t_v , μίας μεταβλητής Χ;  

Απάντηση

Διακύμανση  ή διασπορά  s² ,των παρατηρήσεων  t₁ ,t₂ ,…,t_v , μίας μεταβλητής Χ ονομάζεται ο μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων των t_i από τη μέση τιμή τους    και ορίζεται από τη σχέση:

  .

Όταν έχουμε πίνακα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα, η διακύμανση ορίζεται από τη σχέση: 

  .

24. Tι ονομάζεται τυπική απόκλιση;

Απάντηση

H θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, που θα εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού, λέγεται τυπική απόκλιση,  συμβολίζεται με s και δίνεται από τη σχέση:   .

25.Πως ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας ενός δείγματος τιμών;

Απάντηση

Αν   η μέση τιμή ενός δείγματος τιμών μιας μεταβλητής και s η τυπική απόκλιση των τιμών αυτών, τότε ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας του δείγματος για   ≠ 0 ορίζεται από το λόγο: 

.

Αν   < 0 , τότε αντί της   χρησιμοποιούμε την  .

ΣΧΟΛΙΟ

Ο συντελεστής μεταβολής είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης, εκφράζεται επί τοις εκατό και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών και όχι της απόλυτης διασποράς.

26.Πότε ένα δείγμα είναι ομοιογενές;

Απάντηση

Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 10%. Δηλαδή CV ≤ 10%. 

Μεταξύ δυο δειγμάτων Α και Β μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει εκείνο το δείγμα με μικρότερο CV.

27.Ποιες χαρακτηριστικές κατανομές συχνοτήτων γνωρίζετε;

Απάντηση

Όταν οι παρατηρήσεις “κατανέμονται” ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β], όπως στην κατανομή (α), η κατανομή λέγεται ομοιόμορφη. Όταν οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες, η κατανομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όπως στην κατανομή (γ) ή αρνητική ασυμμετρία όπως στην κατανομή (δ).H κατανομή (β), με “κωδωνοειδή” μορφή λέγεται κανονική κατανομή .

28.Ποιά τα χαρακτηριστικά της κανονικής κατανομής;

Απάντηση

Aν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε η τυπική απόκλιση  s  έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 

• Το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( – s ,  + s)
• Το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( – 2s ,  + 2s)
• Το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( – 3s ,  + 3s)
• Το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R ≈ 6s .

29.Έστω  t₁ ,t₂ ,…,t_v ,  οι τιμές ενός δείγματος και  η μέση τιμή αυτών. Θεωρούμε τις τιμές y_i με  . Να δείξετε ότι η μέση τιμή των τιμών y_i  είναι .

Απάντηση

Έχουμε

 .