ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ (Α΄ΜΕΡΟΣ)

28.Τι ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος ;

Απάντηση

Έστω $\vec{a}=(x,y)$ ένα μη μηδενικό διάνυσμα.

Το πηλίκο $\displaystyle \frac{y}{x}$ της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος $\vec{a}=(x,y)$ , με x ≠ 0, το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του και τον συμβολίζουμε με $\displaystyle \lambda _{\vec{a}}$ ή απλώς με λ.

Επομένως: $\displaystyle \lambda =\frac{y}{x}=\varepsilon \varphi \phi$ .

ΣΧΟΛΙΑ

Είναι φανερό ότι:

→Αν y = 0, δηλαδή αν // x΄x, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι ο λ = 0.

→Αν x = 0 , δηλαδή αν // y΄y, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

29.Να αποδείξετε ότι αν $\vec{a}=(x_1,y_1)$ και ,δύο διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης λ₁ και λ₂ αντιστοίχως ,τότε $\displaystyle \vec{a}//\vec{\beta }\Leftrightarrow \lambda _1=\lambda _2$ .

Απάντηση

Έστω δύο διανύσματα $\vec{a}=(x_1,y_1)$ και , με συντελεστές διεύθυνσης λ₁ και λ₂ αντιστοίχως.

Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες:

Επομένως, η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσματα $\vec{a}=(x_1,y_1)$ και , με συντελεστές διεύθυνσης λ₁ και λ₂ διατυπώνεται ως εξής:

$\displaystyle \vec{a}//\vec{\beta }\Leftrightarrow \lambda _1=\lambda _2$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

30.Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δυο μη μηδενικών διανυσμάτων $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{\beta }$ ;

Απάντηση

Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{\beta }$ και το συμβολίζουμε με $\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{\beta }$ tον πραγματικό αριθμό $\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{\beta }=|\vec{a}|\cdot |\vec{\beta }|\cdot \sigma \upsilon \nu \varphi$ ,όπου φ η γωνία των διανυσμάτων $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{\beta }$ .

Aν $\displaystyle \vec{a}=\vec{0}$ ή $\displaystyle \vec{\beta }=\vec{0}$ , τότε ορίζουμε $\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{\beta }=0$ .

ΣΧΟΛΙΑ

Άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού είναι οι εξής:

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

31.Nα γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου δυο διανυσμάτων και.

Απάντηση

“Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους”.

Δηλαδή αν δύο διανύσματα $\vec{a}=(x_1,y_1)$ και , τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

32.Να αποδείξετε ότι .

Απάντηση

Aν και , τότε έχουμε:

$(\lambda \vec{a})\cdot \vec{\beta }=(\lambda x_1,\lambda y_1)(x_2,y_2)=(\lambda x_1)x_2+(\lambda y_1)y_2=\lambda (x_1x_2+y_1y_2)=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{\beta })$

και

$\vec{a}\cdot(\lambda \vec{\beta })=( x_1, y_1)(\lambda x_2,\lambda y_2)=x_1(\lambda x_2)+y_1(\lambda y_2)=\lambda (x_1x_2+y_1y_2)=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{\beta })$

Άρα, ^_.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

33.Να αποδείξετε ότι .(Επιμεριστική Ιδιότητα)

Απάντηση

Aν $\vec{a}=(x_1,y_1)$ , $\vec{\beta }=(x_2,y_2)$ και $\vec{\gamma }=(x_3,y_3)$ τότε έχουμε:

$\vec{a}\cdot (\vec{\beta }+\vec{\gamma })=(x_1,y_1)(x_2+x_3,y_2+y_3)=x_1(x_2+x_3)+y_1(y_2+y_3)=(x_1x_2+x_1x_3)+(y_1y_2+y_1y_3)=(x_1x_2+y_1y_2)+(x_1x_3+y_1y_3)=\vec{a}\cdot \vec{\beta }+\vec{a}\cdot \vec{\gamma }$

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

34.Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \vec{a}\perp \vec{\beta }\Leftrightarrow \lambda _1\cdot \lambda _2=-1$ , όπου $\displaystyle \lambda _1=\lambda _{\vec{a}}$ , $\displaystyle \lambda _2=\lambda _{\vec{\beta}}$ ,εφόσον $\displaystyle \vec{a},\vec{\beta} \nparallel y'y$ .

Απάντηση

$\vec{a}\perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot \vec{\beta}=0\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0\Leftrightarrow y_1y_2=-x_1x_2\Leftrightarrow \frac{y_1}{x_1}\cdot \frac{y_2}{x_2}=-1$ $\Leftrightarrow \lambda _1\cdot \lambda _2=-1$

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

35.Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα , και θ η γωνία που σχηματίζουν τότε να αποδείξετε οτι .

Απάντηση

Aν , είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε $\vec{a}\cdot \vec{\beta }=|\vec{a}|\cdot |\vec{\beta }|\cdot \sigma \upsilon \nu \theta$ και επομένως , $\sigma \upsilon \nu \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{\beta }}{|\vec{a}|\cdot |\vec{\beta }|}$ .

Είναι όμως $\vec{a}\cdot \vec{\beta }=x_1x_2+y_1y_2,|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2},\kappa \alpha \iota |\vec{\beta }|=\sqrt{x_2^2+y_2^2}$ ,

Επομένως _.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

36.Έστω $\displaystyle \vec{a} ,\vec{\nu }$ δύο διανύσματα του επιπέδου με $\displaystyle \vec{a} \neq \vec{0}$ .Τι ονομάζουμε προβολή του διανύσματος $\displaystyle \vec{\nu}$ στο διάνυσμα $\displaystyle \vec{a}$ ;

Απάντηση

Έστω $\displaystyle \vec{a} ,\vec{\nu }$ δύο διανύσματα του επιπέδου με $\displaystyle \vec{a} \neq \vec{0}$ .

Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα και .Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του και έστω Μ₁ το ίχνος της καθέτου.

Το διάνυσμα λέγεται προβολή του διανύσματος $\displaystyle \vec{\nu}$ στο διάνυσμα $\displaystyle \vec{a}$ και συμβολίζεται με $\pi \rho o\beta _{\vec{a}}\vec{\nu }$ .

Δηλαδή, .

Αποδεικνύεται ότι η προβολή του $\displaystyle \vec{\nu}$ πάνω στο $\displaystyle \vec{a}$ είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

37.Να αποδείξετε ότι $\vec{a}\cdot \vec{\nu }=\vec{a}\cdot \pi \rho o\beta _{\vec{a}}\vec{\nu }$ .

Απάντηση

Έστω $\displaystyle \vec{a} ,\vec{\nu }$ δύο διανύσματα του επιπέδου με $\displaystyle \vec{a} \neq \vec{0}$ .

Φέρνουμε τη προβολή του διανύσματος $\displaystyle \vec{\nu}$ στο διάνυσμα $\displaystyle \vec{a}$ δηλαδή το διάνυσμα και έχουμε:

$\vec{a}\cdot \vec{\nu }=\vec{a}\cdot (\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{M_1M})=\vec{a}\cdot\overrightarrow{OM_1}+\vec{a}\cdot\overrightarrow{M_1M} =\vec{a}\cdot\overrightarrow{OM_1}=\vec{a}\cdot \pi \rho o\beta _{\vec{a}}\vec{\nu }$

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

Pages: 1 2 3

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
« Ιαν
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31