Απάντηση Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E΄(−γ,0) , E(γ,0) , και σταθερή διαφορά 2α είναι όπου . ΣΧΟΛΙΟ Αν είναι α = β , τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής και η εξίσωσή της γράφεται x2 − y2 = α2 .
Απάντηση Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E΄(0,−γ) , E(0,γ) και σταθερή διαφορά 2α είναι , όπου .
Απάντηση Έστω μια υπερβολή C, η οποία ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων Oxy έχει εξίσωση όπου . →Αν Μ1(x1 , y1) είναι ένα σημείο της υπερβολής C, τότε τα σημεία M2(x1 ,−y1), M3(−x1 , y1) και M4(−x1 , −y1) ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημαίνει ότι η υπερβολή C έχει τους άξονες x′x και y′y άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας. Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E′, E της υπερβολής και η μεσοκάθετη του E΄E είναι άξονες συμμετρίας της υπερβολής, ενώ το μέσο Ο του E΄E είναι κέντρο συμμετρίας της. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής. →Από την εξίσωση της υπερβολής για y = 0 βρίσκουμε x = ±α. Συνεπώς, η υπερβολή τέμνει τον άξονα x′x στα σημεία A΄(−α,0) και A(α,0). Τα σημεία αυτά λέγονται κορυφές της υπερβολής.Από την ίδια εξίσωση για x = 0 προκύπτει η εξίσωση y2 = −β2 ,η οποία είναι αδύνατη στο ℝ. Επομένως, η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξονα y′y . →Από την εξίσωση της υπερβολής, έχουμε: , οπότε και άρα ή . Επομένως, τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x = −α και x = α , πράγμα που σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους.
Απάντηση Οι εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής είναι και . ΣΧΟΛΙA Είναι φανερό ότι οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι διαγώνιες του ορθογώνιου ΚΛΜΝ με κορυφές τα σημεία K(α,β), Λ(α,−β), M(−α,−β) και N(−α,β). Το ορθογώνιο αυτό λέγεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής.
Ένας μνημονικός κανόνας για να βρίσκουμε κάθε φορά τις ασύμπτωτες μιας υπερβολής είναι ο εξής:
Παραγοντοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης της υπερβολής και εξισώνουμε κάθε παράγοντα με μηδέν.
Απάντηση Οι εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής είναι και .
Απάντηση Ονομάζουμε εκκεντρότητα της υπερβολής και τη συμβλίζουμε με ε, το λόγο . ΣΧΟΛΙΑ Επειδή είναι , οπότε και άρα . Επομένως, η εκκεντρότητα ε προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της ασυμπτώτου της, δηλαδή χαρακτηρίζει το ορθογώνιο βάσης, άρα τη μορφή της ίδιας της υπερβολής. Όσο η εκκεντρότητα μικραίνει και τείνει να γίνει ίση με 1, ο λόγος άρα και το β, μικραίνει και τείνει να γίνει ίσο με 0. Κατά συνέπεια, όσο πιο μικρή είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής τόσο πιο επίμηκες είναι το ορθογώνιο βάσης και κατά συνέπεια τόσο πιο κλειστή είναι η υπερβολή. Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερβολής είναι α = β , οπότε .
Απάντηση H εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής στο σημείο της Μ1(x1 , y1) είναι .
Απάντηση H εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής στο σημείο της Μ1(x1 , y1) είναι .
Απάντηση Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία E′ME, όπου E′,E οι εστίες της υπερβολής.
Απάντηση Ας θεωρήσουμε μία ευθεία y = λx + β και μία κωνική τομή Ax2 + By2 + Γx + Δy + E = 0. Η ευθεία ε και η κωνική C έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία, αφού το σύστημα έχει το πολύ δύο διακεκριμένες λύσεις. Για την επίλυση του συστήματος θέτουμε στη Ax2 + By2 + Γx + Δy + E = 0, όπου y = λx + β, οπότε προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση. — Αν η εξίσωση αυτή έχει δύο ρίζες άνισες ή μια απλή ρίζα (όταν είναι 1ου βαθμού), τότε η ευθεία και η κωνική τέμνονται. — Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες, δηλαδή αν είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα Δ = 0, τότε αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται της κωνικής. —Τέλος, αν η εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε η ευθεία και η κωνική δεν έχουν κοινά σημεία.