Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)= αx+β

Σχολικό βιβλίο – Κεφάλαιο 6 ¨ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ¨ (εμπλουτισμένο)

ΓΩΝΙΑ ΕΥΘΕΙΑΣ (ε) ΜΕ ΤΟΝ x΄x ΑΞΟΝΑ

Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο που τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Α.

Τη γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία Αx, όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να πέσει πάνω στην ευθεία ε, τη λέμε γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα x′x.

(Θετική φορά ορίζουμε τη φορά περιστροφής , η οποία είναι αντίθετη του ρολογιού)

Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη προς τον άξονα x′x ή συμπίπτει με αυτόν, τότε λέμε ότι η ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα x′x γωνία ω = 0°.

Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει 0° ≤ ω < 180°.

Ως συντελεστή διεύθυνσης ή ως κλίση μιας ευθείας ε ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα x′x.

Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας ε συμβολίζεται συνήθως με λ_ε ή απλά με λ.

Είναι φανερό ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι θετικός, αν η γωνία ω είναι οξεία, αρνητικός, αν η γωνία ω είναι αμβλεία και μηδέν, αν η γωνία ω είναι μηδέν.

Στην περίπτωση που η γωνία ω είναι ίση με 90°, δηλαδή όταν η ευθεία ε είναι κάθετη στον άξονα x′x, δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την ε.

Η συνάρτηση $f(x)=\alpha x+\beta$

Η συνάρτηση $f(x)=\alpha x+\beta$ έχει για πεδίο ορισμού της , το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία με εξίσωση y = αx + β , η οποία τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Β(0 , β) και έχει κλίση λ = α η οποία είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον x΄x.

Αν α > 0 τότε 0° < ω < 90°

Αν α < 0 τότε 90° < ω < 180°

Αν α = 0 τότε ω = 0°

Αν α = 0 , τοτε η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f(x) = β , και λέγεται σταθερή, ενώ η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία παράλληλη στον x΄x άξονα.

$f(x)= \beta$

Αν β = 0 , τοτε η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f(x) = αx και η γραφική της παράστασή είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .

$f(x)= \alpha x$

Αν α = 1 και β = 0 , τοτε η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f(x) = x , της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία που σχηματίζει γωνία 45° με τον x΄x άξονα και διχοτομεί το πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο.

$f(x)= x,x\epsilon \mathbb{R}$

Αν α = -1 και β = 0 , τοτε η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f(x) = -x , της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία που σχηματίζει γωνία 135° με τον x΄x άξονα και διχοτομεί το δεύτερο και το τέταρτο τεταρτημόριο.

$f(x)= -x,x\epsilon \mathbb{R}$

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Κάθε κατακόρυφη ευθεία , δηλαδή της μορφής x = γ δεν εκφράζει γραφική παράσταση συνάρτησης, αφου δεν ικανοποιεί τον ορισμό της συνάρτησης , οπότε δεν θα μπορεί να εκφραστεί από τη συνάρτηση f(x) = αx + β.

Υπολογισμός κλίσης ευθείας από δυο δεδομένα σημεία της.

Έστω δύο τυχαία σημεία A(x₁,y₁) και B(x₂,y₂) της ευθείας y = αx + β. Θα αποδείξουμε οτι η κλίση α της ευθείας ισούται με $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

Απόδειξη

Έστω δύο τυχαία σημεία A(x₁,y₁) και B(x₂,y₂) της ευθείας y = αx + β. (x₁ ≠ x₂)

Τότε θα ισχύει: y₁ = αx₁ + β και y₂ = αx₂ + β οπότε θα έχουμε:

y₂ – y₁ = (αx₂ + β) – (αx₁ + β) = α(x₂ – x₁) .

Επομένως με x₁ ≠ x₂ δηλαδή x₁ – x₂≠ 0 ,θα είναι $\alpha =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

Παράδειγμα

Εύρεση εξίσωσης ευθείας από 2 δεδομένα σημεία.

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών.

Έστω δυο ευθείες με εξισώσεις ε₁: y = α₁x + β₁ και ε₂: y = α₂x + β₂

Οι δύο ευθείες ε₁ και ε₂ με εξισώσεις y = α₁x + β₁ και y = α₂x + β₂ αντίστοιχα σχηματίζουν με τον άξονα x′x γωνίες ω₁ και ω₂ .

Αν α₁ = α₂, τότε εφω₁ = εφω₂, οπότε ω₁= ω₂ και άρα οι ευθείες ε₁ και ε₂ είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.

Ειδικότερα:
→Αν α₁ = α₂ και β₁ ≠ β₂, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες .

→Αν α₁ = α₂ και β₁ = β₂, τότε οι ευθείες ταυτίζονται.

Αν α₁ ≠ α₂ , τότε εφω₁ ≠ εφω₂ , οπότε ω₁ ≠ ω₂ και άρα οι ευθείες ε₁ και ε₂ τέμνονται.

Συνθήκη καθετότητας

Δύο ευθείες με εξισώσεις ε₁: y = α₁x + β₁ και ε₂: y = α₂x + β₂ , είναι κάθετες αν και μόνο αν το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους είναι ίσο με -1 .

Δηλαδή $\varepsilon _1//\varepsilon _2\Leftrightarrow \alpha _1\cdot \alpha _2=-1$