1.Πράξεις και ιδιότητες.

Απάντηση

Ιδιότητα	Πρόσθεση	Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική
Προσεταιριστική
Ουδέτερο Στοιχείο
Αντίθετος/Αντίστροφος Αριθμού

Επιμεριστική

Επιπλέον,

1. (α = β και γ = δ ) ⇒ α + γ = β + δ

δηλαδή, δυο ισότητες μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη.

2. (α = β και γ = δ) ⇒ αγ = β

δηλαδή, δυο ισότητες μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη.

3. α = β ⇔ α + γ = β + γ

δηλαδή, μπορούμε και στα δυο μέλη μιας ισότητας να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό.

4. Αν γ ≠ 0, τότε: α = β ⇔ αγ = βγ 

δηλαδή, μπορούμε και τα δυο μέλη μιας ισότητας να τα πολλαπλασιάσουμε ή να τα διαιρέσουμε με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. 

5. αβ = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0

δηλαδή, το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς είναι ίσος με το μηδέν.Άμεση συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι η ακόλουθη:

6. αβ ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0

Απάντηση

Αν επιπλέον είναι α ≠ 0, τότε ορίσαμε ότι:

3.  

4.  

Ενώ είναι φανερό ότι, αν α = β, τότε α^ν = β^ν, δεν ισχύει το αντίστροφο.

Παρακάτω συνοψίζονται οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται.

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

3.Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

Απάντηση

4.Πότε ένας αριθμός α είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β; 

Απάντηση

Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β, και γράφουμε α > β, όταν η διαφορά α – β είναι θετικός αριθμός.
Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να πούμε ότι ο β είναι μικρότερος από τον α και γράφουμε β<α.

Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει αμέσως ότι:

• Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.
• Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.

Έτσι ο αρχικός ορισμός γράφεται ισοδύναμα: α > β ⇔ α − β > 0 .
Γεωμετρικά η ανισότητα α > β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών ο αριθμός α είναι δεξιότερα από τον β.

5.Να γράψετε τις ιδιότητες των ανισοτήτων.

Απάντηση

Στηριζόμενοι στην ισοδυναμία α > β ⇔ α − β > 0 , μπορούμε να αποδείξουμε τις παρακάτω ιδιότητες των ανισοτήτων:

• (α > β και β > γ) ⇒ α > γ

• α > β ⇔ α+γ > β+γ
• αν γ > 0 τότε α > β ⇔ α·γ > β·γ
• αν γ < 0 τότε α > β ⇔ α·γ < β·γ

• (α > β και γ > δ) ⇒ α+γ > β+δ
• Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: (α > β και γ > δ) ⇒ α·γ > β·δ

• αν α, β>0 τότε: α > β ⇔ α^ν > β^ν

α > β ⇔ α^ν > β^ν.

Απάντηση

Ιδιότητα

Αν τα α₁ , α₂  ,…,  α_ν , β₁ , β₂  ,…,  β_ν είναι θετικοί αριθμοί, τότε:

(α₁ > β₁ και α₂ > β₂ και … και α_ν > β_ν) ⇒ α₁ · α₂ · … · α_ν > β₁ · β₂ · … · β_ν .

Έστω α > β . Τότε, από τη παραπάνω ιδιότητα, για α₁ = α₂ = … = α_ν = α > 0  και  β₁ = β₂ = … = β_ν = β > 0, προκύπτει ότι: α^ν > β^ν.

Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι α^ν > β^ν και α ≤ β. Τότε αν ήταν α = β , από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε α^ν = β^ν (άτοπο), ενώ αν ήταν α < β , θα είχαμε α^ν < β^ν (άτοπο).

Άρα, α > β .

α = β ⇔ α^ν = β^ν .

Απάντηση

Έστω α = β. Τότε, από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει ότι α^ν = β^ν.

Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι α^ν = β^ν και α ≠ β . Τότε αν ήταν α > β  θα είχαμε α^ν > β^ν (άτοπο), ενώ αν ήταν    α < β θα είχαμε α^ν < β^ν (άτοπο).

Άρα, α = β. 

Απάντηση

9.Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α. 

Απάντηση

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |α| και ορίζεται από τον τύπο:

  .

ΣΧΟΛΙΑ

Από τον ορισμό συμπεραίνουμε αμέσως ότι:

→|α| = |‒α| ≥ 0 .

→|α| ≥ α και |α| ≥ ‒α .

→|α|² = α^{2 .}

Αν θ > 0, τότε:

→|x| = θ ⇔ x = θ ή x = ‒ θ   και  |x| = |α| ⇔ x = α ή x = ‒ α .

Απάντηση

Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας |α · β| = |α| · |β| είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά:

|α· β| = |α|· |β| ⇔ |α · β|² = (|α| · |β|)² ⇔ |α  · β|² = |α|² · |β|²⇔ (α · β)² = α²  · β², που ισχύει.

ΣΧΟΛΙΟ

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται η ιδιότητα:  .

Απάντηση

Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας |α + β| ≤ |α| + |β| είναι μη αρνητικοί αριθμοί,έχουμε διαδοχικά:

|α+β| ≤ |α| + |β| ⇔|α+β|² ≤ (|α| + |β|)² ⇔ (α + β)² ≤ |α|² + |β|² + 2|α| · |β| ⇔α² + β² + 2αβ ≤ α² + β² + 2|αβ| ⇔ αβ ≤ |αβ|, που ισχύει. 

Απάντηση

Αν θεωρήσουμε δυο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως, τότε το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών α και β, συμβολίζεται με d(α,β) και είναι ίση με |α – β|. Είναι δηλαδή: d(α, β) = |α – β| .

ΣΧΟΛΙΟ

Προφανώς ισχύει d(α, β) = d(β, α). Στην περίπτωση μάλιστα που είναι α < β, τότε η απόσταση των α και β είναι ίση με β ‒ α και λέγεται μήκος του διαστήματος [α, β].

Από τον ορισμό της απόστασης έχουμε:

Για x₀∈ ℝ και ρ > 0, ισχύει: |x ‒ x₀| < ρ ⇔ x ∈ (x₀ ‒ ρ, x₀ + ρ) ⇔ x₀ ‒ ρ < x < x₀ + ρ .

Για x0∈ℝ και ρ > 0, ισχύει:|x ‒ x₀| >ρ ⇔ x ∈ (‒∞, x₀ ‒ ρ)∪(x₀ + ρ, +∞) ⇔ x < x₀ ‒ ρ ή x > x₀ + ρ .

Απάντηση

H τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με   και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.

ΣΧΟΛΙΟ

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι: Αν α ≥ 0, η  παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x² = α. 

Για τις τετραγωνικές ρίζες μη αρνητικών αριθμών γνωρίσαμε τις παρακάτω ιδιότητες:

Απάντηση
Η νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με    και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει τον α.

ΣΧΟΛΙΟ

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι: Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x^v = α. 

Από τον ορισμό της νιοστής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού α, συμπεραίνουμε αμέσως ότι:

Αν α ≥ 0, τότε:     και    .

Αν α ≤ 0 και ν άρτιος, τότε:       .

Δυνάμεις με ρητό εκθέτη

Αν α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε:   .

15.Να αποδείξετε ότι αν α, β ≥ 0, τότε   .

Απάντηση

Έχουμε:

 ,που ισχύει.

ΣΧΟΛΙΟ

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται και η ιδιότητα:    .   

16.Να αποδείξετε ότι αν α ≥ 0, τότε   .

Απάντηση

Έχουμε:

   ,που ισχύει.

17.Να αποδείξετε ότι αν α ≥ 0, τότε   .

Απάντηση

Έχουμε:

   ,που ισχύει.