Απάντηση

αx + β = 0 ⇔ αx + β – β = -β ⇔ αx = -β  (1)

Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: 

→Αν α ≠ 0 τότε: (1)  αx = -β⇔ x =  .

Επομένως, αν α ≠ 0 η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την  x = .

 →Αν α = 0 , τότε :

Αν είναι β ≠ 0 η εξίσωση (1) δεν έχει λύση και γι αυτό λέμε ότι είναι αδύνατη, ενώ αν είναι β = 0 η εξίσωση (1)  έχει τη μορφή 0x = 0 και αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x, δηλαδή είναι ταυτότητα. 

Η λύση της εξίσωσης αx + β = 0 και γενικά κάθε εξίσωσης λέγεται και ρίζα αυτής.

Απάντηση

Η εξίσωση x^ν = α , με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση, την   . 

Η εξίσωση x^ν = α ,με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις και  .

Η εξίσωση x^ν = α, με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση, την    .  

Η εξίσωση x^ν = α , με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη.

ΣΧΟΛΙΟ

Από τα παραπάνω συμπεράσματα και από το γεγονός ότι η εξίσωση x^ν = α^ν, με ν∈ℕ*, έχει προφανή λύση τη x = α, προκύπτει ότι:

Αν ο ν περιττός, τότε η εξίσωση x^ν = α^ν έχει μοναδική λύση, τη x = α.

Αν ο ν άρτιος, τότε η εξίσωση x^ν = α^ν έχει δύο λύσεις, τις x₁ = α και x₂ = – α.

Απάντηση

Έχουμε:  

Αν θέσουμε Δ = β² ‒ 4αγ, τότε η τελευταία εξίσωση γίνεται:

    (2)

Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις:

• Αν Δ> 0, τότε έχουμε:

 ή  δηλαδή

ή  

Επομένως η εξίσωση (2), άρα και η ισοδύναμή της (1), έχει δύο λύσεις άνισες, τις:

και  

Για συντομία οι λύσεις αυτές γράφονται  .

• Αν Δ = 0, τότε η εξίσωση (2) γράφεται:

ή  

 ή  

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την  .

• Αν Δ < 0, τότε η εξίσωση (2), άρα και η ισοδύναμή της (1), δεν έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή είναι αδύνατη στο ℝ.

ΣΧΟΛΙΟ

Η αλγεβρική παράσταση Δ = β² ‒ 4αγ, από την τιμή της οποίας εξαρτάται το πλήθος των ριζών της εξίσωσης αx² + βx + γ = 0, α ≠ 0, ονομάζεται διακρίνουσα αυτής.
Τα παραπάνω συμπεράσματα συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα:

.Nα αποδείξετε ότι αν η δευτεροβάθμια εξίσωση  αx² +βx+γ=0  (α≠0) έχει δύο ρίζες x₁, x₂ τότε για το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της, ισχύουν οι σχέσεις:  και  (Τύποι Vieta).

Απάντηση

Στην περίπτωση που η εξίσωση αx² + βx + γ = 0, α ≠ 0 έχει πραγματικές ρίζες x₁, x₂, έχουμε:
      και
 .

Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα x₁ + x₂ και με P το γινόμενο x₁ · x₂, τότε έχουμε τους τύπους:

 και  που είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta.

ΣΧΟΛΙΟ

Η εξίσωση αx² + βx + γ = 0, α ≠ 0  με τη βοήθεια των τύπων του Vieta, μετασχηματίζεται ως εξής:

 .

Η τελευταία μορφή της εξίσωσης αx² + βx + γ = 0 μας δίνει τη δυνατότητα να την κατασκευάσουμε, όταν γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της.

Απάντηση

αx + β > 0 ⇔ αx + β – β > -β ⇔ αx > -β  (1)

Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: 

→Αν α > 0 τότε: (1)  αx > -β⇔ x >   .

→Αν α < 0 τότε: (1)  αx > -β⇔ x <   .

Αν α = 0, τότε η ανίσωση γίνεται 0x > ‒ β,

• η οποία αληθεύει για κάθε x∈ℝ αν είναι β > 0, ενώ 
• είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0.

Απάντηση

Το τριώνυμο αx²+βx+γ ,(α≠0) μετασχηματίζεται ως εξής: 

.

Επομένως:  . (1)

Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις:

• Δ > 0 . Τότε ισχύει   , οπότε έχουμε:

.

Επομένως: αx² + βx + γ = α(x ‒ x₁)(x ‒ x₂), όπου x₁, x₂ οι ρίζες του τριωνύμου.

Άρα, όταν Δ > 0, τότε το τριώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί δύο πρωτοβάθμιους παράγοντες.

• Δ = 0 . Τότε από την ισότητα (1) έχουμε: 

.

Άρα, όταν Δ = 0, τότε το τριώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί ένα τέλειο τετράγωνο.

• Δ < 0 . Τότε ισχύει |Δ| = ‒ Δ, οπότε έχουμε:

.

Επειδή για κάθε x∈ℝ , η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι θετική, το τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.

Συνοψίζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα για τις μορφές του τριωνύμου αx² + βx + γ, α ≠ 0 με διακρίνουσα Δ έχουμε:

Απάντηση

Για να μελετήσουμε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου αx² + βx + γ, α ≠ 0, θα χρησιμοποιήσουμε τις μορφές του ανάλογα με τη διακρίνουσα.

→Αν Δ > 0, τότε ισχύει: αx² + βx + γ = α (x ‒ x₁ )(x ‒ x₂)       (1) 

Υποθέτουμε ότι x₁ < x₂ και τοποθετούμε τις ρίζες σε έναν άξονα.

Παρατηρούμε ότι:

•  Αν x < x₁ < x₂  τότε x ‒ x₁ < 0 και x ‒ x₂ < 0, οπότε (x ‒ x₁)(x ‒ x₂) > 0. Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο είναι ομόσημο του α. 

•  Αν x₁ < x < x₂  τότε x ‒ x₁ > 0 και  x ‒ x₂ < 0, οπότε (x ‒ x₁)(x ‒ x₂) < 0. Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α.

• Αν x₁ < x₂ < x  τότε x ‒ x₁ > 0 και  x ‒ x₂ > 0, οπότε (x ‒ x₁)(x ‒ x₂) > 0. Επομένως, λόγω της (1), το τριώνυμο είναι ομόσημο του α.

→Αν Δ = 0, τότε ισχύει: 

.

Επομένως, το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε πραγματικό    , ενώ μηδενίζεται για    . 

→Αν Δ < 0, τότε ισχύει: 

.

Όμως η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι θετική για κάθε πραγματικό αριθμό x. Επομένως το τριώνυμο είναι ομόσημο του α σε όλο το ℝ.

Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουμε :

Το τριώνυμο αx² + βx + γ, α ≠ 0 γίνεται:

• Ετερόσημο του α , μόνο όταν είναι Δ > 0 και για τις τιμές του x, που βρίσκονται μεταξύ των ριζών.
• Μηδέν, όταν η τιμή του x είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύμου.
• Ομόσημο του α σε κάθε άλλη περίπτωση.