1.Τι ονομάζουμε ακολουθία πραγματικών αριθμών; 

Απάντηση

Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1, 2, 3, …, ν, … στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με α₁, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με α₂ κ.λ.π. Γενικά ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας φυσικός αριθμός ν καλείται ν-οστός ή γενικός όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με α_ν.
Δηλαδή, 1→ α₁, 2→ α₂, 3→ α₃, …, ν→ α_ν, … Την ακολουθία αυτή τη συμβολίζουμε (α_ν). 

Απάντηση

Για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε:

Τον αναδρομικό της τύπο και όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους.

Απάντηση

Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού.

Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου.

Επομένως, η ακολουθία (α_ν) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, αν και μόνο αν ισχύει:

α_ν+1 = α_ν+ ω   ή    α_ν+1 – α_ν = ω .

Απάντηση

Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:

α₁ = α₁

α₂ = α₁ + ω

α₃ = α₂ + ω

α₄ = α₃ + ω

……………….

α_ν-1 = α_ν-2 + ω

α_ν = α_ν-1 + ω

Προσθέτοντας κατά μέλη της ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε  α_ν = α₁ + (ν-1)ω .Επομένως :

O ν-οστόs όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α₁ και διαφορά ω είναι  α_ν = α₁ + (ν-1)ω .

5.Να αποδείξετε οτι τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει  .

Απάντηση

Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, τότε ισχύει:

β – α = ω και γ – β = ω ,επομένως β – α = γ – β ή  .

Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει 

, τότε έχουμε: 2β = α + γ ή β – α = γ – β ,που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικήςπροόδου.

Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ.Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει .

6.Να αποδείξετε οτι το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου (α_ν) με διαφορά ω είναι   .

Απάντηση

Έχουμε S_ν = α₁ + (α₁ + ω) + (α₁ + 2ω) +…+[α₁ + (ν – 2)ω] + [α₁ + (ν – 1)ω] και S_ν = α_ν + (α_ν – ω) + (α_ν – 2ω) +…+ [α_ν – (ν – 2)ω] + [α_ν – (ν – 1)ω] .

Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε:

2S_ν = (α₁ + α_ν) + (α₁ + α_ν) + (α₁ + α_ν) +…+ (α₁ + α_ν) + (α₁ + α_ν) ή 2S_ν = ν(α₁ + α_ν) .

Άρα . 

Επειδή α_ν = α₁ + (ν-1)ω ο τύπος  γράφεται   .

7.Πότε μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος;

Απάντηση

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.

Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου.
Σε μια γεωμετρική πρόοδο (α_ν) υποθέτουμε πάντα ότι α₁ ≠ 0, οπότε, αφού είναι και λ ≠ 0, ισχύει α_ν ≠ 0 για κάθε v∈ℕ*.

Επομένως, η ακολουθία (α_ν) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, αν και μόνο αν ισχύει:

α_ν+1 = α_ν· λ   ή     .

8.Να αποδείξετε ότι ο ν-οστόs όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α₁ και λόγο λ είναι  α_ν = α₁· λ^ν-1 .

Απάντηση

Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε:

α₁ = α₁

α₂ = α₁ · λ

α₃ = α₂ · λ

……………….

α_ν-1 = α_ν-2 · λ

α_ν = α_ν-1 · λ

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε α_ν = α₁· λ^ν-1. Επομένως:

Ο ν-οστόs όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α₁ και λόγο λ είναι α_ν = α₁· λ^ν-1 .

Απάντηση

Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει   και   ,επομένως  ή  .

Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠ 0 ισχύει β² = αγ, τότε έχουμε  , που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός    λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει β² = αγ. 

Να αποδείξετε οτι το άθροισμα των πρώτων ν όρων γεωμετρικής προόδου (α_ν) με λόγο λ≠1 είναι  .

Απάντηση

Έστω S_ν = α₁ + α₁λ + α₁λ² + … + α₁λ^ν-2 + α₁λ^ν-1    (1)

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ και έχουμε 

λS_ν = λα₁ + α₁λ² + α₁λ³ + … + α₁λ^ν-1 + α₁λ^ν   (2)

Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

λS_ν – S_ν = α₁λ^ν – α₁ ή (λ – 1)S_ν = α₁(λ^ν – 1) .

Επομένως, αφού λ ≠ 1, έχουμε:   .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι λ = 1, τότε το άθροισμα των όρων της είναι S_ν = ν·α₁, αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με α₁.