16.Να γράψετε την παράγωγο της συνάρτησης f (x)  = e^x.

Απάντηση

Η συνάρτηση  f (x) = e^x ,είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με f΄(x)  = e^x , δηλαδή (e^x )΄= e^x .

17.Να γράψετε την παράγωγο της συνάρτησης f (x)  = lnx.

Απάντηση

Η συνάρτηση  f (x) = lnx ,είναι παραγωγίσιμη στο (0,+∞) με f΄(x)  =  , δηλαδή (lnx)΄=  .

18.Να αποδείξετε οτι αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x₀ , τότε η συνάρτηση f +g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και ισχύει (f + g)΄(x₀) = f΄(x₀) + g΄(x₀).

Απάντηση

19.Να δείξετε οτι η συνάρτηση f(x) = x^-ν ,ν∈ℕ* είναι παραγωγίσιμη στο ℝ* με f΄(x) = -ν·x^-ν-1 ,δηλαδή (x^-ν)΄= -ν·x^-ν-1 .

Απάντηση

20.Να δείξετε οτι η συνάρτηση f(x) = εφx ,x∈ℝ ₁ = ℝ – {x | συνx = 0 }είναι παραγωγίσιμη στο ℝ₁ με f΄(x) =  ,δηλαδή (εφx)΄=  .

Απάντηση

21.Να γράψετε την παράγωγο της συνάρτησης f (x)  = σφx.

Απάντηση

22.Τι γνωρίζετε για τη παράγωγο της f_^og ;

Απάντηση

Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g(x₀), τότε η συνάρτηση f^_og είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και ισχύει (f^_og)΄(x₀) = f΄(g(x₀))·g΄(x₀).

Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g(Δ) , τότε η συνάρτηση f_^og είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει (f_^og)΄(x) = f΄(g(x))·g΄(x)

Δηλαδή, αν u = g(x), τότε (f(u))΄= f΄(u)·u΄.

23.Να δείξετε ότι η συνάρτηση f (x) = x^α, α ∈ ℝ – ℤ είναι παραγωγίσιμη στο (0,+∞) με f΄(x) = α·x^α-1 ,δηλαδή (x^α)΄= α·x^α-1 .

Απάντηση

24.Να δείξετε οτι η συνάρτηση f(x) = α^x ,α > 0 είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με f΄(x) = α^x lnα ,δηλαδή (α^x)΄= α^x lnα  .

Απάντηση

Πράγματι, αν y = α^x = e^xlnα και θέσουμε u = xlnα, τότε έχουμε y = e^u. Επομένως, y΄ = (e^u)΄=e^u ·u΄= e^xlnα ·lnα = α^x·lnα.

.

25.Να δείξετε οτι η συνάρτηση f(x) = ln|x| ,x∈ ℝ* είναι παραγωγίσιμη στο ℝ* με                                     f΄(x) =  ,δηλαδή (ln|x|)΄=  .

Απάντηση

26. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x₀; 

Απάντηση
Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f (x) , όταν  f  είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x₀ , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x₀ την παράγωγο f ΄(x₀) . 

27. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Rolle και να αποδώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.

Απάντηση

Αν μια συνάρτηση  f  είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] , παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και f (α)  = f (β) ,τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈(α, β) τέτοιο, ώστε: f ΄(ξ)  = 0 .

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C_f στο M(ξ, f (ξ))  να είναι παράλληλη στον άξονα των x.

28.Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής και να αποδώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.

Απάντηση

Αν μια συνάρτηση  f  είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) ,τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈(α, β) τέτοιο, ώστε: f ΄(ξ)  =   .

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C_f στο M(ξ, f (ξ))  να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ ,όπου Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)).

Απάντηση

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε x₁, x₂ ∈Δ ισχύει f(x₁) = f(x₂).

Πράγματι

• Αν x₁ = x₂, τότε προφανώς f(x₁) = f(x₂).
• Αν x₁ <  x₂ , τότε στο διάστημα [x₁ , x₂] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως υπάρχει ξ ∈(x₁ , x₂) τέτοιο, ώστε  (1)Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ΄(ξ)  = 0, οπότε, λόγω της (1), είναι f(x₁) = f(x₂).
• Αν x₁ >  x₂, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f(x₁) = f(x₂).

Σε όλες τις περιπτώσεις λοιπόν είναι f(x₁) = f(x₂).  

Απάντηση
Η συνάρτηση f – g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x ∈Δ ισχύει

31.Έστω μια συνάρτηση  f, η οποία είναι συνεχής  σε ένα διάστημα Δ. Αν f΄(x) > 0 σε κάθε  εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η  f  είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Απάντηση

Έστω x_1,x₂ ∈Δ με x₁ <  x₂. Θα δείξουμε ότι f (x₁) < f (x₂).

Πράγματι, στο διάστημα [x_{1 ,} x₂] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως υπάρχει ξ ∈(x₁ , x₂)  τέτοιο, ώστε Oπότε έχουμε f (x₂) – f (x₁) = f΄(ξ)(x₂ – x₁).
Επειδή f΄(ξ) > 0 και x₂ – x₁ > 0 έχουμε f (x₂) – f (x₁) > 0 οπότε f (x₁) <f (x₂).

ΣΧΟΛΙΟ

Αναλόγως εργαζόμαστε στην περίπτωση που είναι f΄(x) < 0 και το θεώρημα δίνοταν ως εξής:

Έστω μια συνάρτηση  f, η οποία είναι συνεχής  σε ένα διάστημα Δ. Αν f΄(x) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η  f  είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. 

32.Πότε μια συνάρτηση f ,με πεδίο ορισμού το Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x₀∈Α τοπικό μέγιστο; 

Απάντηση

Μια συνάρτηση  f,  με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x₀ ∈Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ  > 0 , τέτοιο ώστε f (x) ≤ f (x₀)  για κάθε  x∈A∩(x₀-δ , x₀+δ) .To x₀ λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f (x₀) τοπικό μέγιστο της  f.