Θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄Λυκείου (Γ΄μέρος)

Ολοκληρωτικός Λογισμός

1.Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f;

Απάντηση

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F΄(x) = f (x) , για κάθε x ∈ℝ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

2.Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = F(x) + c , c∈ℝ είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) = F(x) + c , c∈ℝ.

Απάντηση

Κάθε συνάρτηση της μορφής G(x) = F(x) + c, όπου c∈ℝ, είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού G΄(x) = (F(x) + c)΄= F΄(x) = f(x) , για κάθε x∈Δ.

Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε x∈Δ ισχύουν F΄(x) = f(x) και G΄(x) = f(x), οπότε G΄(x) = F΄(x), για κάθε x∈Δ. Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε G(x) = F(x) + c, για κάθε x∈Δ.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

3.Να γράψετε τον ορισμό – έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος .

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] . Με τα σημεία α = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_ν = β χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους Δx = $\dfrac {\beta -\alpha }{v}$ .

Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα $\xi_{k}\in\left[x_{k-1},x_{k}\right]$ , για κάθε k∈ {1 , 2 , … ,ν}, και σχηματίζουμε το άθροισμα $S_{v}=f\left( \xi_{1}\right) \Delta x+f\left( \xi_{2}\right) \Delta x+\ldots +f\left( \xi_{k}\right) \Delta x+\ldots +f\left( \xi_{v}\right) \Delta x$ ,

το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: $S_{v}=\sum ^{v}_{k=1}f\left( \xi_{k}\right) \Delta x$ .

Αποδεικνύεται ότι,

“Το όριο του αθροίσματος S_v , δηλαδή το $\lim _{v\rightarrow \infty }\left( \sum ^{v}_{k=1}f\left( \xi_{k}\right) \Delta x\right)$ (1) υπάρχει στο ℝ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ξ_κ ”.

Το παραπάνω όριο (1) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συμβολίζεται με $\int ^{\beta }_{a}f\left( x\right) dx$ και διαβάζεται “ολοκλήρωμα της f από το α στο β”.

Δηλαδή, $\int ^{\beta }_{a}f\left( x\right) dx=\lim _{v\rightarrow \infty }\left( \sum ^{v}_{k=1}f\left( \xi_{k}\right) \Delta x\right)$

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

4.Αν c > 0, τότε ποιο εμβαδόν εκφράζει το $\int ^{\beta }_{a}cdx$ ;

Απάντηση

Αν c > 0, τότε το $\int ^{\beta }_{a}cdx$ εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση β-α και ύψος c.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

5.Tι εκφράζει το ολοκλήρωμα $\int ^{\beta }_{a}f\left( x\right) dx$ ,αν f(x) ≥ 0 για κάθε x∈ [α , β] ;

Απάντηση

Αν f(x) ≥ 0 για κάθε x∈ [α , β], τότε το ολοκλήρωμα $\int ^{\beta }_{a}f\left( x\right) dx$ δίνει το εμβαδόν E (Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f ,τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β.

Δηλαδή $\int ^{\beta }_{a}f\left( x\right) dx$ = E(Ω).

ΣΧΟΛΙΟ

Αν f(x) ≥ 0 , τότε $\int ^{\beta }_{a}f\left( x\right) dx$ ≥ 0

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

6.Αν f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α , β] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις Cf , Cg, και τις ευθείες x = α και x = β. Να ορίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω για κάθε x∈ [α , β].

Απάντηση

$E\left( \Omega \right)= \int ^{\beta }_{\alpha}\left| f\left( x\right)-g\left( x\right) \right| dx$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

7.Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α , β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α , β], τότε να αποδείξετε οτι $\int ^{\beta }_{a}f\left( x\right) dx$ = G(β) – G(α). (Θ.Θ.Ο.Λ.)

Απάντηση

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση F(x) = $\int ^{x}_{a}f\left( t\right) dt$ είναι μια παράγουσα της f στο [α , β] . Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [α , β], θα υπάρχει c∈ℝ τέτοιο, ώστε G(x) = F(x) + c . (1)
Από την (1), για x = α , έχουμε G(α) = F(α) + c = $\int ^{a}_{a}f\left( t\right) dt+c$ = c , οπότε c = G(α).
Επομένως, G(x) = F(x) + G(α), οπότε, για x = β, έχουμε :