Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β] , στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και σημείο x₀∈[α, β] στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι f΄(x₀)=0.

Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f΄΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση.

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x₀ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και f΄(x₀)=0, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x₀.

Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x₀, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.Αν f΄(x) > 0 στο (α, x₀) και f΄(x) < 0 στο (x₀, β), τότε το f (x₀) είναι τοπικό ελάχιστο της f .

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x₀,τότε η συνάρτηση f⋅g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και ισχύει: (f⋅g)΄(x₀) = f΄(x₀)⋅g΄(x₀).

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆. Αν f΄(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.