ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ (Α΄ΜΕΡΟΣ)

14.Τι ονομάζουμε διάνυσμα θέσεως ή διανυσματική ακτίνα;

Απάντηση

Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα , το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ.

Το σημείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο.

Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα έχουμε και επομένως .

Δηλαδή:
“Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής”.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

15.Tι γνωρίζεται για το μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων;

Απάντηση

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε το άθροισμα των διανυσμάτων $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{\beta }$ .

Από την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουμε όμως ότι:

|(ΟΑ) – (ΑΒ)|≤ (ΟΒ) ≤ (ΟΑ )+ (ΑΒ) και επομένως $\left ||\vec{a }|-|\vec{\beta } | \right |\leq \left |\vec{a }+ \vec{\beta } \right \left |\leq |\vec{a }|+|\vec{\beta}|$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

16.Τι ονομάζουμε γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με το διάνυσμα $\displaystyle \vec{a}$ ;

Απάντηση

Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ ≠ 0 και $\displaystyle \vec{a}$ ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το $\displaystyle \vec{a}$ και το συμβολίζουμε με $\displaystyle \lambda \cdot \vec{a}$ ή $\displaystyle \lambda \vec{a}$ ένα διάνυσμα το οποίο:

Είναι ομόρροπο του $\displaystyle \vec{a}$ , αν λ > 0 και αντίρροπο του $\displaystyle \vec{a}$ , αν λ < 0

και

έχει μέτρο $\displaystyle |\lambda |\cdot |\vec{a}|$ .

Αν είναι λ = 0 ή $\displaystyle \vec{a}=\vec{0}$ , τότε ορίζουμε ως $\displaystyle \lambda \cdot \vec{a}$ το μηδενικό διάνυσμα $\displaystyle \vec{0}$ .

To γινόμενο $\displaystyle \frac{1}{\lambda} \cdot \vec{a}$ το συμβολίζουμε και με $\displaystyle \frac{\vec{a}}{\lambda}$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

17.Nα γράψετε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με διάνυσμα.

Απάντηση

Για το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες:

Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε:

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

18.Τι ονομάζουμε γραμμικό συνδυασμό δυο διανυσμάτων $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{\beta }$ ;

Απάντηση

Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{\beta }$ ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής $\displaystyle \vec{\nu }=\kappa \vec{a}+\lambda \vec{\beta }$ , όπου κ,λ∈ℝ.
Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσότερων διανυσμάτων.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

19.Να αποδείξετε οτι αν $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{\beta }$ είναι δύο διανύσματα, με $\displaystyle \vec{\beta }\neq \vec{0}$ ,τότε $\displaystyle \vec{a }// \vec{\beta }\Leftrightarrow \vec{a }=\lambda \vec{\beta }, \lambda \epsilon \mathbb{R}$ (Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων).

Απάντηση

Αν δύο διανύσματα $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{\beta }$ , όπου $\displaystyle \vec{\beta }\neq \vec{0}$ , συνδέονται με τη σχέση $\displaystyle \vec{a}=\lambda \vec{\beta }$ τότε τα διανύσματα αυτά είναι παράλληλα.

Ισχύει όμως και το αντίστροφο. Δηλαδή , αν τα διανύσματα $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{\beta }$ είναι παράλληλα και $\displaystyle \vec{\beta }\neq \vec{0}$ ,τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός λ τέτοιος ώστε $\displaystyle \vec{a}=\lambda \vec{\beta }$ .

Πράγματι ,αν θέσουμε $\displaystyle \kappa =\frac{|\vec{a}|}{|\vec{\beta }|}$ τότε $\displaystyle |\vec{a}| =\kappa |\vec{\beta }|$ .

Συνεπώς:

Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει λ και μάλιστα μοναδικός, τέτοιος, ώστε $\displaystyle \vec{a}=\lambda \vec{\beta }$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

20.Έστω Ο ένα σημείο αναφοράς , ένα διάνυσμα του επιπέδου και Μ το μέσο του ΑΒ τμήματος, να αποδείξετε ότι .

Απάντηση

Ας πάρουμε ένα διάνυσμα και ένα σημείο αναφοράς Ο.

Επειδή εχουμε:

,οπότε και άρα .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

21.Nα αποδείξετε οτι κάθε διάνυσμα $\displaystyle \vec{a}$ γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή $\displaystyle \vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$ ,δηλαδή σαν γραμμικός συνυασμός των $\displaystyle \vec{i}$ και $\displaystyle \vec{j}$ ,όπου $\displaystyle \vec{i}$ και $\displaystyle \vec{j}$ τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x΄x και y΄y αντίστοιχα.

Απάντηση

Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και $\displaystyle \vec{a}$ ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα $\displaystyle \vec{a}$ .

Aν Α₁και Α₂ οι προβολές του Α στους άξονες x′x και y′y αντιστοίχως, έχουμε:
(1).
Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του A, τότε ισχύει και .Επομένως η ισότητα (1) γράφεται .
Αποδείξαμε δηλαδή ότι το είναι γραμμικός συνδυασμός των και .
Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθμοί x και y είναι μοναδικοί.
Θα αποδείξουμε τώρα ότι και η έκφραση του ως γραμμικού συνδυασμού των και είναι μοναδική.
Πράγματι, έστω ότι ισχύει και τότε θα έχουμε: .
Αν υποθέσουμε ότι x ≠ x΄ , δηλαδή ότι x – x΄≠ 0 , τότε θα ισχύει: .
Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι , που είναι άτοπο, αφού τα και δεν είναι συγγραμμικά.

Επομένως x = x΄, που συνεπάγεται ότι και y ≠ y΄.

Ώστε: Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή .

ΣΧΟΛΙΑ
Τα διανύσματα και λέγονται συνιστώσες του διανύσματος κατά τη διεύθυνση των και αντιστοίχως , ενώ οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του στο σύστημα Οxy.

Πιο συγκεκριμένα, ο x λέγεται τετμημένη του και ο y λέγεται τεταγμένη του .

Από τον τρόπο που ορίστηκαν οι συντεταγμένες ενός διανύσματος προκύπτει ότι:

“Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες”.

Καθένα από τα ίσα διανύσματα με τετμημένη x και τεταγμένη y, θα το συμβολίζουμε με το διατεταγμένο ζεύγος (x , y).

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

22.Αν $\vec{a}=(x_1,y_1)$ και , $\lambda \epsilon \mathbb{R}$ να αποδείξετε οτι: και $\lambda \vec{a }=(\lambda x_1,\lambda y_1)$ .

Απάντηση

Αν $\vec{a}=(x_1,y_1)$ και ,τότε έχουμε:
και

Επομένως ,

και $\lambda \vec{a }=(\lambda x_1,\lambda y_1)$

ή ισοδύναμα ,
$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ και $\lambda (x_1,y_1)=(\lambda x_1,\lambda y_1)$ .

ΣΧΟΛΙΟ

Γενικότερα , για το γραμμικό συνδυασμό $\displaystyle \lambda\vec{a}+\mu \vec{\beta }$ έχουμε:
$\lambda\vec{a}+\mu \vec{\beta }= (\lambda x_1,\lambda y_1)+(\mu x_2,\mu y_2)=(\lambda x_1+\mu x_2,\lambda y_1+\mu y_2)$

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

23.Έστω Α(x₁ , y₁) και Β(x₂ , y₂) δυο σημεία του επιπέδου.Nα αποδείξετε οτι αν Μ(x , y) μέσο του τμήματος ΑΒ τότε $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ και $y=\frac{y_1+y_2}{2}$ .

Απάντηση

Επειδή $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ και έχουμε $(x,y)=\frac{1}{2}[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)]=\left ( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right )$ .

Επομένως ισχύει $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ και $y=\frac{y_1+y_2}{2}$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

24.Nα αποδείξετε οτι οι συντεταγμένες (x , y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία Α(x₁ , y₁) και Β(x₂ , y₂) δίνονται από τις σχέσεις x = x₂ – x₁ και y = y₂ – y₁ .

Απάντηση

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x₁ , y₁) και Β(x₂ , y₂) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (x , y) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος .

Επειδή,

έχουμε: .

ΣΧΟΛΙΟ

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

25.Να αποδείξετε οτι το μέτρο του διανύσματος $\vec{a}=(x,y)$ είναι ίσο με $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Απάντηση

Έστω $\vec{a}=(x,y)$ ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και Α το σημείο με διανυσματική ακτίνα . Αν A₁ και A₂ είναι οι προβολές του Α στους άξονες x′x και y′y αντιστοίχως, επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη x και τεταγμένη y, θα ισχύει (OA₁) = |x| και (OA₂) = |y| .

Έτσι θα έχουμε:
.

Επομένως το μέτρο του διανύσματος $\vec{a}=(x,y)$ είναι ίσο με .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

26.Να αποδείξετε οτι η απόσταση των σημείων Α(x₁ , y₁) και Β(x₂ , y₂) είναι ίση με $(AB)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .

Απάντηση

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x₁ , y₁) και Β(x₂ , y₂) του καρτεσιανού επιπέδου.

Επειδή η απόσταση (AB) των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος , σύμφωνα με τον τύπo θα ισχύει:

Eπομένως η απόσταση των σημείων Α(x₁ , y₁) και Β(x₂ , y₂) είναι ίση με .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

27.Τι ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τον άξονα x′ x;

Απάντηση

Έστω $\vec{a}=(x,y)$ ένα μη μηδενικό διάνυσμα και A το σημείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει . Τη γωνία ϕ , που διαγράφει ο ημιάξονας Οx αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x′ x.

Είναι φανερό ότι 0 ≤ ϕ < 2π .

ΣΧΟΛΙΟ

Για τη γωνία φ, όπως είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία, αν το δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα y′y, ισχύει $\displaystyle \varepsilon\varphi \phi =\frac{y}{x}$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

Pages: 1 2 3

Μάρτιος 2025
Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
« Ιαν
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31