ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ (Γ΄ΜΕΡΟΣ)

11.Να γράψετε την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής.

Απάντηση

Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής Μ₁ διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία Μ₁Ε και η ημιευθεία Μ₁t, που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

12.Τι ονομάζoυμε έλλειψη με εστίες E΄και Ε ;

Απάντηση

Έστω E′ και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου.

Ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία E′ και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα E′ και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του EE′ .

ΣΧΟΛΙΑ

→Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, συνήθως, με 2α και την απόσταση των εστιών E′ και Ε με 2γ.

→H απόσταση E΄E ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης.

→Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν (ME΄) + (ME) = 2α .

→Ισχύει (E΄Ε) < (ME΄) + (ME) , δηλαδή 2γ < 2α οπότε γ < α. Αν γ = 0, τότε τα σημεία E΄, E συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνεται κύκλος με κέντρο το Ε και ακτίνα α.

→Για να βρούμε ένα σημείο της έλλειψης C, εργαζόμαστε ως εξής:

Παίρνουμε ένα τμήμα ΚΛ μήκους 2α και ένα οποιοδήποτε σημείο του Σ. Με κέντρα τα E′ και Ε και ακτίνες ρ΄ = (ΚΣ) και ρ = (ΛΣ) ,αντιστοίχως, γράφουμε δύο κύκλους, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Μ και Μ΄.Τα σημεία Μ και Μ΄είναι σημεία της έλλειψης, γιατί ισχύει (ME΄) + (ME) = ρ΄+ρ = 2α και (M΄E΄) + (M΄E) = ρ΄+ρ = 2α .

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε οσαδήποτε σημεία της έλλειψης.

Πρακτικά μπορούμε να σχεδιάσουμε την έλλειψη ως εξής:

Παίρνουμε ένα σχοινί μήκους 2α και στερεώνουμε τα άκρα του στις εστίες E′ και Ε. Αν τώρα με ένα μολύβι διατηρούμε το σχοινί τεντωμένο, τότε αυτό, κατά την κίνησή του, θα διαγράψει την έλλειψη.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

13.Να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E΄(−γ,0) , E (γ,0) και σταθερό άθροισμα 2α.

Απάντηση

Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E΄(−γ,0) , E (γ,0) και σταθερό άθροισμα 2α είναι

$\frac{x^2}{\alpha ^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}=1$ ,όπου .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

14.Να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E΄(0,−γ) , E(0, γ) και σταθερό άθροισμα 2α.

Απάντηση

Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E΄(0,−γ) , E (0 ,γ) και σταθερό άθροισμα 2α είναι

$\frac{x^2}{\beta ^2}+\frac{y^2}{a ^2}=1$ ,όπου $\beta =\sqrt{\alpha ^2-\gamma ^2}$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

15.Να γράψετε τις ιδιότητες της έλλειψης.

Απάντηση

Έστω μια έλλειψη C: $\frac{x^2}{\alpha ^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}=1$ ,όπου .

→Αν Μ₁(x₁ , y₁) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε τα σημεία M₂(x₁ ,−y₁), M₃(−x₁ , y₁) και M₄(−x₁ , −y₁) ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω έλλειψη έχει τους άξονες x′x και y′y άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας. Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E′, E της έλλειψης και η μεσοκάθετος του E΄E είναι άξονες συμμετρίας της έλλειψης, ενώ το μέσο Ο του E΄E είναι κέντρο συμμετρίας της. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης.

→Από την εξίσωση της έλλειψης για y = 0 βρίσκουμε x = ±α , ενώ για x = 0 βρίσκουμε y = ±β. Επομένως, η έλλειψη C τέμνει τον άξονα x′x στα σημεία A΄(−α,0) και A(α,0), ενώ τον άξονα y′y στα σημεία B΄(0,−β) και B(0,β ). Τα σημεία A΄,A,B΄,B λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα A΄A και B΄B , τα οποία έχουν μήκη (A΄A)= 2α και (B΄B)= 2β , λέγονται μεγάλος άξονας και μικρός άξονας αντιστοίχως. Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο οποιαδήποτε συμμετρικά ως προς Ο σημεία Μ₁ και Μ₄ της έλλειψης λέγεται διάμετρος της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι:

2β ≤ (Μ₁Μ₄) ≤ 2α ,

δηλαδή ότι κάθε διάμετρος της έλλειψης είναι μεγαλύτερη ή ίση από το μικρό άξονα και μικρότερη ή ίση από το μεγάλο άξονα της έλλειψης.

→Από την εξίσωση της έλλειψης, έχουμε:

$\frac{x^2}{a ^2}=1-\frac{y^2}{\beta ^2}\leq 1$ οπότε

$x^2-a^2\leq 0$ και άρα

$-a \leq x\leq a$ .

Ομοίως $-\beta \leq y\leq \beta$ .

Άρα, η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες x = -α , x = α και y = −β , y = β.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

16.Τι ονομάζουμε εκκεντρότητα μιας έλλειψης;

Απάντηση

Ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψης $\frac{x^2}{\alpha ^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}=1$ και τη συμβλίζουμε με ε, το λόγο $\varepsilon =\frac{\gamma }{\alpha }<1$ .

ΣΧΟΛΙΑ

Επειδή $\gamma =\sqrt{a^2-\beta ^2}$ είναι $\varepsilon =\frac{\sqrt{a^2-\beta ^2}}{a}$ , οπότε $\varepsilon^2 =\frac{a^2-\beta ^2}{a^2}=1-\left ( \frac{\beta }{a} \right )^2$ και άρα $\frac{\beta }{\alpha }=\sqrt{1-\varepsilon ^2}$ .

Επομένως, όσο μεγαλώνει η εκκεντρότητα τόσο μικραίνει ο λόγος $\frac{\beta }{\alpha }$ και κατά συνέπεια τόσο πιο επιμήκης γίνεται η έλλειψη.

Όταν το ε τείνει στο μηδέν, τότε ο λόγος $\frac{\beta }{\alpha }$ τείνει στο 1 και επομένως η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. Όταν, όμως, το ε τείνει στη μονάδα, τότε ο λόγος $\frac{\beta }{\alpha }$ τείνει στο 0 και επομένως η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα.

Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα ίδιο λόγο $\frac{\beta }{\alpha }$ , λέγονται όμοιες.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

17.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης $\frac{x^2}{\alpha ^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}=1$ στο σημείο της Μ₁(x₁ , y₁).

Απάντηση

H εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης $\frac{x^2}{\alpha ^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}=1$ στο σημείο της Μ₁(x₁ , y₁) είναι

$\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{\beta ^2}=1$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

18.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης $\frac{y^2}{a ^2}+\frac{x^2}{\beta ^2}=1$ στο σημείο της Μ₁(x₁ , y₁).

Απάντηση

H εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης $\frac{y^2}{a ^2}+\frac{x^2}{\beta ^2}=1$ στο σημείο της Μ₁(x₁ , y₁) είναι

$\frac{yy_1}{a ^2}+\frac{xx_1}{\beta ^2}=1$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

19.Να γράψετε την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης.

Απάντηση

Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία E΄ME, όπου E΄,E οι εστίες της έλλειψης.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

20.Τι ονομάζουμε υπερβολή με εστίες E΄και Ε ;

Απάντηση

Έστω E′ και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου.

Ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία E′ και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα E′ και Ε είναι σταθερή και μικρότερη του (E΄E) .

ΣΧΟΛΙΑ

→Την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σημείου της υπερβολής από τις εστίες την παριστάνουμε συνήθως με 2α, ενώ την απόσταση των εστιών με 2γ.

→Η απόσταση E΄E ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής.

→Ένα σημείο Μ είναι σημείο της υπερβολής, αν και μόνο αν |(ΜΕ΄) − (ΜΕ)| = 2α.

→Ισχύει |(ΜΕ΄) − (ΜΕ)| < (E΄E) δηλαδή 2α < 2γ , οπότε α < γ .

→Για να βρούμε σημεία της υπερβολής C, εργαζόμαστε ως εξής:

Παίρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ μήκους 2α και ένα οποιοδήποτε σημείο Σ της ημιευθείας ΚΛ εκτός του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ. Με κέντρα E′ και Ε και ακτίνες ρ΄ = (ΚΣ) και ρ = (ΛΣ), αντιστοίχως, γράφουμε κύκλους οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Μ και M ′ . Τα σημεία Μ και M ′ είναι σημεία της υπερβολής, γιατί ισχύει (ME΄) − (ME) = (ΚΣ) − (ΛΣ) = 2α .

Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να κατασκευάσουμε οσαδήποτε σημεία της υπερβολής.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

Pages: 1 2 3