ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

No comments

Συνοπτική θεωρία

Παραγοντοποίηση ονομάζουμε τη διαδικασία κατά την οποία ένα άθροισμα μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων.

Η παραγοντοποίηση σαν διαδικασία θα λέγαμε ότι είναι αντίστροφη διαδικασία της επιμεριστικής ιδιότητας.

ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ:    \alpha \cdot \left ( \beta +\gamma \right ) = \alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ:   \alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma = \alpha \cdot \left ( \beta +\gamma \right )

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι με τους οποίους μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση τους οποίους θα αριθμήσουμε παρακάτω:

1. Εξαγωγή κοινού παράγοντα

Η εξαγωγή κοινού παράγοντα είναι ακριβώς η αντίστροφη διαδικασία σε σχέση με την επιμεριστική ιδιότητα.Αν όλοι οι όροι μιας παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε η παράσταση μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα.

πχ1  5x+25=5\cdot\left ( x+5 \right )    (βγάλαμε κοινό παράγοντα το 5)

πχ2 2\alpha \beta -2\alpha \gamma +2\alpha \delta =2\alpha \cdot\left (\beta -\gamma +\delta \right )    (βγάλαμε κοινό παράγοντα το 2\alpha )

πχ3  30x^2y-6xy=6xy\cdot\left ( 5x-1 \right )   (βγάλαμε κοινό παράγοντα το  6xy )

ΠΡΟΣΟΧΗ!

  • Στο τελευταίο παράδειγμα κοινός παράγοντας βγήκε ένας ο όρος 6xy της παράστασης οπότε μέσα στην παρένθεση βάλαμε τη μονάδα και όχι το μηδέν!! Πάντα αν ένας όρος μιας παράστασης βγεί κοινός παράγοντας μέσα στην παρένθεση βάζουμε μονάδα!
  • Επαληθεύω τη διαδικασία κάνοντας επιμεριστική!

2. Ομαδοποίηση

Η ομαδοποίηση βασίζεται στην εξαγωγή κοινού παράγοντα ,αφού για να την εφαρμόσουμε χωρίζουμε την παράσταση σε ομάδες, βγάζουμε κοινό παράγοντα σε κάθε ομάδα και τέλος βγάζουμε κοινό παράγοντα μεταξύ των παραγόντων που δημιουργήθηκαν μεταξύ των δύο ομάδων.

πχ1

x^2+xy+\alpha x+\alpha y= \underset{o\mu \alpha \delta \alpha 1}{\underbrace{x^2+xy}}+\underset{o\mu \alpha \delta \alpha 2}{\underbrace{\alpha x+\alpha y}}=x\underset{\kappa o\iota \nu o\varsigma }{\underbrace{(x+y)}}+\alpha \underset{\kappa o\iota \nu o\varsigma}{\underbrace{(x+y)}}=(x+y)(x+\alpha )

 

πχ2

x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1)

 

πχ3

9\alpha \beta -18\beta ^2+10\beta -5\alpha =9\beta (\alpha -2\beta )-5(\alpha -2\beta )=(\alpha -2\beta )(9\beta -5)

 

3. Ανάπτυγμα Ταυτότητας

   Διαφορά τετραγώνων

    Tετράγωνο αθροίσματος

  Τετράγωνο διαφοράς

  Κύβος αθροίσματος

  Κύβος διαφοράς

 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ)

πχ1    x ^2-16=x^2-4^2=(x -4 )(x +4 )

πχ2    \alpha^2 \beta ^2-1=(\alpha \beta )^2-1^2=(\alpha \beta -1 )(\alpha \beta +1 )

πχ3   25-4y^2=5^2-(2y)^2=(5 -2y )(5 +2y )

 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ-ΔΙΑΦΟΡΑΣ)

πχ1   x^2+10x+25=x^2+2\cdot5\cdot x+5^2=(x+5)^2

πχ2   9\alpha ^2+12\alpha \beta +4\beta ^2=(3\alpha )^2+2\cdot3\alpha \cdot 2\beta +(2\beta )^2=(3\alpha +2\beta )^2

πχ3   \alpha ^4-6\alpha^2 \beta +9\beta ^2=(\alpha^2 )^2-2\cdot\alpha^2 \cdot 3\beta +(3\beta )^2=(\alpha^2 -3\beta )^2

πχ4   100-20\alpha +\alpha ^2=10^2-2\cdot 10 \cdot \alpha +\alpha ^2=(10 -\alpha )^2

 

4. Συνδυασμός των παραπάνω τρόπων

πχ1  3x^2+6x+3 = 3 \cdot (x^2 + 2 x+1)=3(x+1)^2

πχ2   18x^4-8y^2=2\cdot (9x^4-4y^2)=2[(3x^2)^2-(2y)^2]=2(3x^2-2y)(3x^2+2y)

πχ3  xy^2-x^3=x\cdot (y^2-x^2)=x(y-x)(y+x)