Ταυτότητες | DoYourMath.gr

Συνοπτική Θεωρία

Ταυτότητα ονομάζουμε μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για κάθε τιμή των μεταβλητών αυτών.

Στη Β Γυμνασίου συναντήσαμε την έκφραση αυτή, στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, όταν καταλήγαμε μετά από πράξεις στην μορφή 0x = 0 . Όντως μια τέτοια εξίσωση έχει για λύση της κάθε πραγματικό αριθμό, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις, επομένως σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό είναι μια ταυτότητα. Υπάρχουν πολλές ταυτότητες, στην Γ γυμνασίου θα μάθουμε κάποιες βασικές ,τις οποίες λέμε αξιοσημείωτες.

1. Τετράγωνο αθροίσματος

$\left ( \alpha +\beta \right )^2=\alpha ^2+2\alpha \beta +\beta ^2$

Απόδειξη

$\left ( \alpha +\beta \right )^2=\left ( \alpha +\beta \right )\cdot \left ( \alpha +\beta \right )=\alpha ^2+\alpha \beta +\beta \alpha +\beta ^2=\alpha ^2+2\alpha \beta +\beta ^2$

2. Τετράγωνο διαφοράς

$\left ( \alpha -\beta \right )^2=\alpha ^2-2\alpha \beta +\beta ^2$

Απόδειξη

$\left ( \alpha -\beta \right )^2=\left ( \alpha -\beta \right )\cdot \left ( \alpha -\beta \right )=\alpha ^2-\alpha \beta -\beta \alpha +\beta ^2=\alpha ^2-2\alpha \beta +\beta ^2$

3. Γινόμενο αθροίσματος επι διαφορά. (Διαφορά τετραγώνων!)

$\left ( \alpha +\beta \right )\cdot\left ( \alpha -\beta \right )=\alpha ^2 -\beta ^2$

Απόδειξη

$\left ( \alpha +\beta \right )\cdot\left ( \alpha -\beta \right )=\alpha ^2-\alpha \beta +\beta \alpha -\beta ^2=\alpha ^2-\beta ^2$

4. Κύβος αθροίσματος

$\left ( \alpha +\beta \right )^3=\alpha ^3+3\alpha ^2\beta +3\alpha \beta ^2+\beta ^3$

Απόδειξη

$\left ( \alpha +\beta \right )^3=\left ( \alpha +\beta \right )\cdot \left ( \alpha +\beta \right )^2=\left ( \alpha +\beta \right )\cdot \left ( \alpha^2+2\alpha \beta +\beta ^2 \right )=\alpha ^3+2\alpha ^2\beta +\alpha \beta ^2+\beta \alpha ^2+2 \alpha\beta ^2+\beta ^3=\alpha ^3+3\alpha ^2\beta +3\alpha \beta ^2+\beta ^3$

4. Κύβος διαφοράς

$\left ( \alpha -\beta \right )^3=\alpha ^3-3\alpha ^2\beta +3\alpha \beta ^2-\beta ^3$

Απόδειξη

$\left ( \alpha -\beta \right )^3=\left ( \alpha -\beta \right )\cdot \left ( \alpha -\beta \right )^2=\left ( \alpha -\beta \right )\cdot \left ( \alpha^2-2\alpha \beta +\beta ^2 \right )=\alpha ^3-2\alpha ^2\beta +\alpha \beta ^2-\beta \alpha ^2+2 \alpha\beta ^2-\beta ^3=\alpha ^3-3\alpha ^2\beta +3\alpha \beta ^2-\beta ^3$

Τρόπος σκέψης…

Στις ασκήσεις στις οποίες μας ζητείται να αποδείξουμε την ισχύ μιας ισότητας (ταυτότητα) μπορούμε να εργαστούμε με έναν από τους δύο παρακάτω τρόπους:

Α. Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος, κάνουμε τις πράξεις και καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. Αυτός ο τρόπος προτιμάται όταν το δεύτερο μέλος δεν έχει πράξεις.

Β. Κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη παράλληλα και καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.

εφαρμογή-παράδειγμα

Να αποδείξετε την ισότητα:

$\left ( \alpha +\beta \right )^2- \left ( \alpha -\beta \right )^2=4\alpha \beta$

Λύση

(Τρόπος σκέψης…Α)

$\left ( \alpha +\beta \right )^2- \left ( \alpha -\beta \right )^2=\alpha ^2+2\alpha \beta +\beta ^2-\left ( \alpha ^2-2\alpha \beta +\beta ^2\right )=\alpha ^2+2\alpha \beta +\beta ^2-\alpha ^2+2\alpha \beta -\beta ^2=4\alpha \beta$

εφαρμογή-παράδειγμα

Να αποδείξετε την ισότητα:

$\left ( 2\alpha \beta \right )^2+\left ( \alpha ^2-\beta ^2 \right )^2= \left ( \alpha ^2+\beta ^2 \right )^2$

Λύση

(Τρόπος σκέψης…Β)

$\left ( 2\alpha \beta \right )^2+\left ( \alpha ^2-\beta ^2 \right )^2= \left ( \alpha ^2+\beta ^2 \right )^2\Leftrightarrow$

$4\alpha ^2\beta ^2+\left ( \alpha ^2 \right )^2-2\alpha ^2\beta ^2+\left ( \beta ^2 \right )^2=\left ( \alpha ^2 \right )^2+2\alpha ^2\beta ^2+\left ( \beta ^2 \right )^2\Leftrightarrow$