1.Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α;

Απάντηση
Έστω Α ένα υποσύνολο του ℝ . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x∈A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y.Το y ονομάζεται τιμή της  f  στο x και συμβολίζεται με f(x). Το σύνολο Α, λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και συνήθως συμβολίζεται με Α_f. Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα x∈A, λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f(A). Είναι δηλαδή: f(A) = { y | y = f(x)  για κάποιο x∈A}. 

2.Τι ονομάζουμε ανεξάρτητη και τι εξαρτημένη μεταβλητή;

Απάντηση
Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. 

3.Έστω η συνάρτηση f από το Α στο Β, πότε η f  λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής τιμής; 

Απάντηση
Αν το Α είναι υποσύνολο του συνόλου ℝ των πραγματικών αριθμών, ενώ το Β συμπίπτει με το ℝ οι συναρτήσεις αυτές λέγονται πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής και τις οποίες στο εξής θα τις λέμε απλώς συναρτήσεις.  

4.Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση ή καμπύλη της f.

Απάντηση
Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M(x, y) για τα οποία ισχύει y = f (x) ( εξίσωση της γραφικής παράστασης της  f), δηλαδή το σύνολο των σημείων M(x,f (x)) , x∈A, λέγεται γραφική παράσταση της f και θα συμβολίζεται συνήθως με C_f .

5.Ως πρός ποιόν άξονα είναι συμμετρική η γραφική παράσταση της συνάρτησης – f;

Απάντηση
Η γραφική παράστασης της συνάρτησης -f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x΄x της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία M΄(x,-f (x)) που είναι συμμετρικά των M(x,f (x)) , ως προς τον άξονα x΄x .

6.Ως πρός ποιόν άξονα είναι συμμετρική η γραφική παράσταση της συνάρτησης |f|;

Απάντηση
Η γραφική παράστασης της συνάρτησης |f|  αποτελείται από τα τμήματα της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από από τον άξονα x΄x και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x΄x ,των τμημάτων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν .

7.Βασικές γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.

Απάντηση

8.Πότε δυο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες;

Απάντηση
Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:

• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
• για κάθε x∈A ισχύει f (x) = g(x) .

9.Πως ορίζονται οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων, και πως βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των νέων συναρτήσεων; 

Απάντηση
Ορίζουμε ως άθροισμα , διαφορά , γινόμενο και πηλίκο  δύο συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους:

Το πεδίο ορισμού των , και είναι η τομή A∩B των πεδίων ορισμού Α και Β των  συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της  είναι το A∩B, εξαιρουμένων
των τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(x) , δηλαδή το σύνολο {x | x∈A και x∈B, με   g(x) ≠ 0}.  

10.Τι ονομάζουμε σύνθεση της συνάρτηση f με την g και να ορίσετε το πεδίο ορισμού της .

Απάντηση
Αν  f, g  είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με g_ºf, τη συνάρτηση με τύπο (g_ºf)(x) =g(f(x)).

Το πεδίο ορισμού της g_ºf αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της  f  για τα οποία το f (x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο A₁ = {x∈A | f (x)∈B}.

Είναι φανερό ότι η g_ºf ορίζεται αν A₁ ≠ ∅ ,δηλαδή αν f(A)∩B ≠ ∅.

ΣΧΟΛΙΑ

•  Γενικά, αν  f, g  είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g_ºf και f_ºg , τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.
• Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h_º(g_ºf ) , τότε ορίζεται και η (h_ºg)_ºf και ισχύει h_º(g_ºf )  = (h_ºg)_ºf . Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με h_ºg_ºf . Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις.  

11.Πότε μια συνάρτηση f, λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ.

Απάντηση
Μια συνάρτηση  f  λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x₁ ,x₂ ∈Δ  με x₁ < x₂ ισχύει f (x₁) < f (x₂) . 

12.Πότε μια συνάρτηση f, λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ.

Απάντηση
Μια συνάρτηση  f  λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x₁ ,x₂ ∈Δ  με x₁ < x₂ ισχύει f (x₁) > f (x₂) .

13.Πότε μια συνάρτηση f  λέγεται γνησίως μονότονη σ’ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση
Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της , λέμε οτι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

14.Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x₀∈A (ολικό) μέγιστο;

Απάντηση
Μια συνάρτηση  f  με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο x₀∈A ,το f (x₀) ,όταν f (x) ≤ f (x₀) για κάθε x∈A .

15.Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x₀∈A (ολικό) ελάχιστο;

Απάντηση
Μια συνάρτηση  f  με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x₀∈A ,το f (x₀) ,όταν f (x) ≥ f (x₀) για κάθε x∈A .

16.Τι ονομάζουμε ολικά ακρότατα μιας συνάρτησης;

Απάντηση
Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο , άλλες μόνο ελάχιστο , άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.

17.Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνάρτηση 1 – 1 ;

Απάντηση
Μια συνάρτηση f :A → ℝ  λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x₁ ,x₂ ∈Α ισχύει η συνεπαγωγή:  αν x₁ ≠ x₂, τότε f (x₁) ≠ f (x₂).

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:

Μια συνάρτηση f :A → ℝ  λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x₁ ,x₂ ∈Α ισχύει η συνεπαγωγή:  αν f (x₁) = f (x₂), τότε x₁ = x₂.

ΣΧΟΛΙΑ

• Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση  f  είναι 1-1, αν και μόνο αν:

— Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f (x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

— Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της  f  το πολύ σε ένα σημείο.

• Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση 1-1.(το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει!)