Θεωρία στη Γεωμετρία Γενικής Παιδείας Β΄Λυκείου

Δημήτρης Ζαρκαδούλας 11/07/2016 No comments

Μέτρηση Κύκλου

1.Πότε ενα πολύγωνο λέγεται κανονικό;

Απάντηση

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

2.Να αποδείξετε ότι η γωνία φ_ν ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με $\displaystyle \large \varphi _\nu =180^o-\frac{360^o}{\nu }$ .

Απάντηση

Έστω Α₁Α₂…Α_ν ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές και έστω Â₁ = Â₂ = … = Â_ν = φ_ν . Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι (ν – 2)180°, θα έχουμε νφ_ν = (ν – 2) ∙ 180° και επομένως $\displaystyle \large \varphi _\nu =180^o-\frac{360^o}{\nu }$ .

ΣΧΟΛΙΟ

Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

3.Να αποδείξετε ότι κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον και οτι οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι.

Απάντηση

Έστω ΑΒΓΔ …Τ ένα κανονικό πολύγωνο . Θεωρούμε τον κύκλο (Ο, R) που διέρχεται από τις κορυφές Α, Β, Γ του πολυγώνου. Θα αποδείξουμε ότι ο κύκλος αυτός διέρχεται και από την κορυφή Δ, δηλαδή ότι OΔ = R.

Επειδή OB = OΓ = R, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισοσκελές και επομένως B̂₁ = Γ̂ ₁ = σ, οπότε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα, γιατί έχουν:

ΟΒ = ΟΓ, ΑΒ = ΓΔ (αφού ΑΒΓΔ…T κανονικό) και B̂₂ = B̂ – σ = Γ̂ – σ = Γ̂₂.

Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΟΔ = OA = R.

Όμοια αποδεικνύεται ότι ο κύκλος (O, R) διέρχεται και από τις υπόλοιπες κορυφές Ε, Ζ, … Τ και επομένως το πολύγωνο είναι εγγράψιμο. Οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του κύκλου (O, R), επομένως και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα, έστω με α.

Επομένως, ο κύκλος (O, α) εφάπτεται στις πλευρές του ΑΒΓΔ…Τ, άρα το πολύγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο.

Είναι φανερό, από τα παραπάνω, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (O, R) και ο εγγεγραμμένος (O, α) του πολυγώνου είναι ομόκεντροι.

ΣΧΟΛΙΟ

Το κοινό κέντρο των δύο αυτών κύκλων λέγεται κέντρο του πολυγώνου. Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου, ενώ η απόσταση του κέντρου από μια πλευρά του, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου.

Επειδή τα τόξα A͡B, B͡Γ, …, T͡A είναι ίσα, οι επίκεντρες γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ, …, ΤÔΑ είναι ίσες. Καθεμία από τις γωνίες αυτές, δηλαδή η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου.

Σε ένα κανονικό ν-γωνο θα συμβολίζουμε με R την ακτίνα του, με λ_ν την πλευρά του, με α_ν το απόστημά του, με ω_ν την κεντρική του γωνία, με Ρ_ν την περίμετρό του και Ε_ν το εμβαδόν του.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

4.Να αποδείξετε ότι σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύει οτι: $\displaystyle \large a^2 _\nu +\frac{\lambda ^2 _\nu}{4}=R^2$ .

Απάντηση

Έστω ΑΒΓΔ…Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, ΑΒ = λ_ν η πλευρά του και OH = α_ν το απόστημά του .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟΑ, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει:

OH ²+ HA ²= OA ²,δηλαδή $\displaystyle \large a^2 _\nu +\frac{\lambda ^2 _\nu}{4}=R^2$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

5.Να αποδείξετε ότι σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύει οτι: Ρ_ν = νλ_ν.

Απάντηση

Επειδή ΑΒ = ΒΓ = … = ΤΑ = λ_ν, θα είναι Ρ_ν = νλ_ν.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

6.Να αποδείξετε ότι σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύει οτι: $\displaystyle \large \omega _\nu =\frac{360^o}{\nu }$ .

Απάντηση

Επειδή A͡B = B͡Γ = … = T͡A θα είναι ΑÔΒ = ΒÔΓ = …= ΤÔΑ = ω_ν και αφού οι γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ, … και ΤÔΑ έχουν άθροισμα 360°, έχουμε ν·ω_ν = 360°, δηλαδή $\displaystyle \large \omega _\nu =\frac{360^o}{\nu }$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

7.Να αποδείξετε ότι σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύει οτι: $\displaystyle \large E _\nu =\frac{1}{2 }P_\nu \cdot a_\nu$ .

Απάντηση

Τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΒΓ, … , ΟΤΑ είναι ίσα (ΠΠΠ), άρα και ισεμβαδικά και επομένως έχουμε:

$\displaystyle \large E _\nu =\nu \cdot (OAB)=\nu \cdot \frac{1}{2}AB\cdot OH=\frac{1}{2 }\nu \cdot \lambda _\nu \cdot a_\nu =\frac{1}{2 }P_\nu \cdot a_\nu$ , αφού Ρ_ν = νλ_ν.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

8.Να αποδείξετε ότι σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των αποστημάτων τους.

Απάντηση

Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ…Τ και ΑʹΒʹΓʹ…Τʹ με το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν ≥3).

Αν Ο, Οʹ τα κέντρα των πολυγώνων, τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟʹΑʹΒʹ είναι όμοια γιατί είναι ισοσκελή και έχουν AÔB = AʹÔʹBʹ = $\displaystyle \large \frac{360^o}{\nu }$ ,και επομένως $\large \displaystyle \large \frac{AB}{A'B '}=\frac{OA}{O'A'}=\frac{OH}{O'H '}$ , όπου ΟΗ, ΟʹΗʹ τα ύψη των τριγώνων.

Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι: $\displaystyle \large \frac{\lambda _\nu }{\lambda' _\nu}=\frac{R}{R'}=\frac{a _\nu}{a' _\nu}$ ,όπου λ_ν , R, α_ν τα συνήθη στοιχεία του ΑΒΓ…Τ και λʹ_ν, Rʹ, αʹ_ν τα στοιχεία του ΑʹΒʹΓʹ…Τʹ.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

9.Να αποδείξετε ότι κάθε τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) έχει πλευρά $\displaystyle \large \lambda _4=R\sqrt{2}$ και απόστημα $\displaystyle \large a _4=\frac{R\sqrt{2}}{2}$ .

Απάντηση

Έστω ένας κύκλος (Ο, R) . Αν φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ, θα είναι ΑÔΒ = ΒÔΓ = ΓÔΔ = ΔÔΑ = 90°, οπότε A͡B = B͡Γ = Γ͡Δ = Δ͡ Α και επομένως το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο.

Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε λ₄² = ΑΒ ² = ΟΑ ² + ΟΒ ² = R ² + R ² = 2R ², από την οποία προκύπτει ότι: $\displaystyle \large \lambda _4=R\sqrt{2}$ .

Από τη βασική σχέση $\displaystyle \large a^2 _\nu +\frac{\lambda ^2 _\nu}{4}=R^2$ με ν = 4 προκύπτει ότι $\displaystyle \large \displaystyle \large a^2 _4 +\frac{\lambda ^2 _4}{4}=R^2\Leftrightarrow \displaystyle \large a^2 _4 =R^2 - \frac{(R\sqrt{2})^2}{4}=\frac{R^2}{2}$ ,δηλαδή $\displaystyle \large a _4=\frac{R\sqrt{2}}{2}$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

10.Να αποδείξετε ότι κάθε κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) έχει πλευρά $\displaystyle \large \displaystyle \large \lambda _6=R$ και απόστημα $\displaystyle \large \displaystyle \large a _6=\frac{R\sqrt{3}}{2}$ .

Απάντηση

Έστω κύκλος (Ο, R) και ΑΒ η πλευρά του κανονικού εξαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον (Ο,R).

Τότε ΑÔΒ = ω₆ = 60° και επειδή OA = OB =R το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. Άρα AB = OA = R, δηλαδή λ₆ = R .

Έτσι για την εγγραφή κανονικού εξαγώνου σε κύκλο, παίρνουμε πάνω στον κύκλο έξι διαδοχικά τόξα A͡B, B͡Γ, Γ͡Δ, Δ͡E , E͡Z και Z͡A με αντίστοιχη χορδή R, το καθένα, οπότε το ΑΒΓΔΕΖ είναι κανονικό εξάγωνο. Επειδή λ₆ = R, από τη βασική σχέση $\displaystyle \large \displaystyle \large a^2 _6 +\frac{\lambda ^2 _6}{4}=R^2$ με αντικατάσταση του λ₆ προκύπτει ότι: $\displaystyle \large \displaystyle \large a^2 _6 =R^2 - \frac{R^2}{4}=\frac{3R^2}{4}$ ή $\displaystyle \large \displaystyle \large a _6=\frac{R\sqrt{3}}{2}$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

11.Να αποδείξετε ότι κάθε ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) έχει πλευρά $\displaystyle \large \lambda _3=R\sqrt{3}$ και απόστημα $\displaystyle \large a _3=\frac{R}{2}$ .

Απάντηση

Αν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ διαιρούν τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα, τότε τα σημεία Α, Γ, Ε είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου, αφού A͡Γ = Γ͡Ε = E͡A = 120°.

Επειδή ΑΓ͡Δ= 180°, η ΑΔ είναι διάμετρος και επομένως το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ορθογώνιο, οπότε λ₃² = ΑΓ ² = ΑΔ ² – ΔΓ ² = (2R) ² – R ² = 3R ², δηλαδή $\displaystyle \large \lambda _3=R\sqrt{3}$ .

Εφαρμόζοντας τώρα τη σχέση $\displaystyle \large a^2 _3 +\frac{\lambda _3^2}{4}=R^2$ , προκύπτει ότι $\displaystyle \large a _3=\frac{R}{2}$ .

ΣΧΟΛΙΟ

Τα στοιχεία των βασικών κανονικών πολυγώνων συγκεντρώνονται στον επόμενο πίνακα:

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

12. Με πόσο ισούται το μήκος του κύκλου ακτίνας R;

Απάντηση

Το μήκος L του κύκλου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση L = 2πR.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

13.Με πόσο ισούται το μήκος του τόξου μ^ο μοιρών, ενός κύκλου ακτίνας R;

Απάντηση

Το μήκος του τόξου μ^ο μοιρών, ενός κύκλου ακτίνας R ,δίνεται από τη σχέση $\displaystyle \large l=\frac{\pi R\mu }{180}$ .

ΣΧΟΛΙΟ
Επίσης, ένα τόξο κύκλου με μήκος R λέγεται ακτίνιο (rad). Άρα ένα τόξο α rad έχει μήκος αR, δηλαδή $\displaystyle \large l=a\cdot R$ .

Από τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει οτι $\displaystyle \large \frac{a}{\pi }=\frac{\mu }{180}$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

14.Με πόσο ισούται το εμβαδόν του κύκλου δίσκου ακτίνας R;

Απάντηση

Το εμβαδόν Ε ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση Ε = πR ².

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

15.Με πόσο ισούται το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟA͡B ,μ^ο μοιρών και ακτίνας R;

Απάντηση

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟA͡B ,μ^ο μοιρών και ακτίνας R δίνεται από την ισότητα:

(ΟA͡B) = $\displaystyle \large \frac{\pi R^2\mu }{360}$ .

ΣΧΟΛΙΟ

Επειδή ο κυκλικός δίσκος (O, R) είναι τομέας 2π rad με εμβαδόν πR ², ένας τομέας α rad θα έχει εμβαδόν $\displaystyle \large \frac{\pi R^2 }{2\pi }\cdot a=\frac{1}{2}a\cdot R^2$ .

Επομένως, το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα ΟA͡B α rad και ακτίνας R δίνεται από την ισότητα

(ΟA͡B) = $\displaystyle \large \frac{1}{2}a\cdot R^2$ .

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

16.Έστω ένας κύκλος (O, R) και μια χορδή του ΑΒ.Πώς υπολογίζουμε το εμβαδόν ε του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στην κυρτή γωνία ΑÔΒ ;

Απάντηση

Το εμβαδόν ε του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στην κυρτή γωνία ΑÔΒ υπολογίζεται με τη βοήθεια της ισότητας ε = (ΟA͡B) – (ΟΑΒ),δηλαδή αφαιρώντας από το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟA͡B το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ.

Απάντηση

Κλείσιμο απάντησης

Pages: 1 2 3

error: Alert: Content is protected !!