33.Πότε μια συνάρτηση f ,με πεδίο ορισμού το Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x0∈Α τοπικό ελάχιστο; Απάντηση Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x0 ∈Α τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει δ > 0 , τέτοιο ώστε f (x) ≥ f (x0) για κάθε x∈A∩(x0-δ , x0+δ) .To x0 λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελάχιστου, ενώ το f (x0) τοπικό ελάχιστο της f. ΣΧΟΛΙΑ Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής. Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης.
Απάντηση Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο x0 τοπικό μέγιστο. Επειδή το x0 είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει ένα δ > 0 τέτοιο, ώστε (x0-δ , x0+δ)⊆Δ και f (x) ≤ f (x0),για κάθε x∈(x0-δ , x0+δ) (1) Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, ισχύει: Έτσι από τις (2) και (3) έχουμε f ΄(x0) = 0 . Η απόδειξη για το τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.
Επομένως,
35.Ποια σημεία ονομάζουμε πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ; Απάντηση
36.Ποια σημεία ονομάζουμε κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f σ΄ένα διάστημα Δ; Απάντηση
Απάντηση Επειδή f΄(x) > 0 για κάθε x∈(α ,x0) και η f είναι συνεχής στο x0, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α ,x0]. Έτσι έχουμε f (x) ≤ f (x0) για κάθε x∈(α ,x0](1) ΣΧΟΛΙΟ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ΄(x) < 0 στο (α, x0) και f ΄(x) > 0 στο (x0 , β) , τότε το f (x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f.
Επειδή f΄(x) < 0 για κάθε x∈(x0,β) και η f είναι συνεχής στο x0, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (x0,β]. Έτσι έχουμε f (x) ≤ f (x0) για κάθε x∈[x0 ,β) (2)
Επομένως λόγω των (1) και (2), ισχύει f (x) ≤ f (x0) για κάθε x∈(α ,β),που σημαίνει ότι το f(x0) είναι μέγιστο της f στο(α ,β) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής.
Απάντηση Επειδή η f είναι συνεχής στο x0 θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (α ,x0] και [x0,β).Επομένως, για x1 < x0 < x2 ισχύει f(x1) < f(x0) < f(x2) . Άρα το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουμε τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α , β). Πράγματι, έστω x1,x2 ∈(α ,β) με x1 < x2 Επομένως σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f(x1) < f(x2), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α ,β). Ομοίως, αν f ΄(x) < 0 για κάθε x∈(α ,x0)∪(x0,β) .
Έστω ότι f ΄(x) > 0 , για κάθε x∈(α ,x0)∪(x0,β) .
39.Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Απάντηση Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f ΄ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ.
40.Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Απάντηση Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f ΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.
41.Πως συνδέεται η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης f με την κυρτότητά της; Απάντηση Αν f΄΄(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ. Αν f΄΄(x) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ.
Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.
42.Τι ονομάζουμε σημείο καμπής μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f; Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0. Αν η f είναι κυρτή στο (α , x0) και κοίλη στο (x0 , β) , ή αντιστρόφως, και η Cf έχει εφαπτομένη στο σημείο A(x0 , f(x0)) ,τότε το σημείο A(x0 , f(x0)) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.
43.Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ; Απάντηση
Tα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f΄΄μηδενίζεται, και τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f ΄΄.
44.Πότε η ευθεία x = x0 θα λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf; Απάντηση Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια ,, είναι +∞ ή -∞ , τότε η ευθεία x = x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.
45.Πότε η ευθεία y = l θα λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞; Απάντηση Αν = l (αντιστοίχως = l, τότε η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ (αντιστοίχως στο -∞). .
46.Πότε η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της Cf στο +∞; Απάντηση Η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞, αν (αντιστοίχως στο -∞ αν ).
Απάντηση